Теория электрических цепей Резонанс напряжений

Резонанс напряжений Резонансом в цепях переменного тока, содержащих индуктивные и емкостные элементы, называется явление совпадения по фазе векторов тока и напряжения на входе цепи или на участке цепи, при этом cosj = 1, j = 0..

Частотные характеристики последовательного колебательного контура.

На нулевой частоте (для источника постоянного ЭДС) индуктивность заменяется короткозамкнутым проводником, а емкость - обрывом; на бесконечной частоте свойства указанных элементов меняются местами, то есть индуктивность становится обрывом, а емкость - короткозамкнутым проводником.

Параллельное соединение элементов R, L, C; проводимости. Рассмотрим параллельное соединение разнородных элементов R, L, C.

Комплексная амплитуда общего тока . 55(2.46).

Резонанс токов. Резонансный режим, возникающий при параллельном соединении R, L, C, называется резонансом токов.

Частотные характеристики параллельного колебательного контура. Для простоты рассмотрим идеальный контур, то есть контур без активных сопротивлений в ветвях

Мощности Рассчитаем мощность произвольного приемника, представленного на рис.2.30 в виде пассивного двухполюсника.

Разность полной и активной мощности, обусловленная наличием реактивных (индуктивных и емкостных) элементов называется реактивной мощностью.

Передача энергии от активного двухполюсника к пассивному.

Коэффициент мощности Наибольшие действующие значения напряжения и тока, допускаемые для генераторов и трансформаторов, производящих и, соответственно, преобразующих электрическую энергию, зависят от их конструкции, а наибольшая мощность, которую они могут развивать, не подвергаясь опасности быть поврежденными, определяется произведением этих значений.

Задача 8.5

 В схеме рис. 8.5 а определить закон изменения напряжения на ёмкости после коммутации, если E = 100 В, С = 100 мкФ, R1 = R2 = 100 Ом.

 Рис. 8.5 а

Решение

Классический метод

Составляем дифференциальное уравнение для момента после коммутации по второму закону Кирхгофа:

.

Представляем решение этого уравнения в виде суммы принужденной и свободной составляющих:

uC = uCПР + uССВ = uСПР + Аept . (1)

Определяем принужденную составляющую

uСПР = E = 100 В.

Составляем характеристическое уравнение и определяем его корень

;

откуда  с-1.

Определяем напряжения на ёмкости до коммутации:

 В.

Согласно второму закону коммутации

 В.

Определяем постоянную интегрирования А, рассмотрев (1) в момент коммутации при t = 0+:

50 = 100 + A; откуда А = – 50;

100 – 50e-100t В.

Операторный метод

Операторная схема замещения приведена на рис. 8.5 б, где   В.

Рис. 8.5 б

Из схемы рис. 2 выражаем операторный ток:

.

Для контура abc составляем уравнение по второму закону Кирхгофа и выражаем UC(p):

 ;

 .

Определяем корни знаменателя H(p):

; ;  c-1.

При наличии двух корней, один из которых равен 0, теорема разложения будет иметь вид:

,

где

;

, ;

;

, ;

 В.

Задача 8.6

 Классическим методом определить ток  через источник, если  В;  Ом; С = 1000 мкФ =  Ф (рис. 8.6 а).

Рис. 8.6 а

Решение

1. Решение для тока находим в виде суммы принужденной и свободной составляющих.

.

2. Определяем принужденную составляющую :

, где ;

 Ом;

;

 А;

 А.

3. Находим корень характеристического уравнения через входное сопротивление, записанное в операторной форме:

;

;

.

4. Используя независимое начальное условие, определим постоянную интегрирования А, рассмотрев решение для тока  (п. 1) в момент коммутации.

;

при t = 0 + .

Из схемы рис. 8.6 б в момент коммутации

 ;

;

Рис. 8.6 б

Окончательное выражение тока  будет иметь вид:

 А.

Задача 8.7

Для схемы рис. 8.7 а рассчитать ток классическим и операторным методами, если Е = 20 В; R1 = R2 = = 20 Ом; L = 0,1 Гн.

 Рис. 8.7 а

Решение

Классический метод

1. Для схемы после коммутации составим дифференциальное уравнение по второму закону Кирхгофа:

  или .

2. Представляем решение этого уравнения в виде суммы принужденной и свободной составляющих:

 .

3. Определяем принужденную составляющую

  А.

4. Составляем характеристическое уравнение и определяем его корень:

;

;

;

 с-1 .

5. Определяем независимые начальные условия для момента до коммутации при t(0-):

 А.

Согласно первому закону коммутации

, т. е.   А.

6. Определяем постоянную интегрирования А из рассмотрения решения (п. 2) для i(t) в момент коммутации:

;

при t = 0+ ;

откуда А = - 0,5 А;

 А.

Операторный метод

 

 Для момента после коммутации составляем операторную схему замещения (рис. 8.7 б), определяем операторный ток I(p) и выражаем его в виде отношения двух многочленов.

 Рис. 8.7 б

 ,

где  А.

Определяем корни знаменателя H(p):

;

 с-1 .

 Для перехода к оригиналу используем теорему разложения, которая при наличии двух корней (один из которых равен 0) будет иметь вид:

, (1)

где

;

;

;

;

;

.

Подставляем найденные значения G(p), H'(p) в (1).

.

Примеры решения типовых задач математика, физика, электротехника