Теория электрических цепей Трехфазные цепи

Физика
Лабораторные работы
Курс электрических цепей
Полупроводниковая электроника
Курс лекций и задач
Потенциал электpостатического поля
Пpимеpы использования теоpемы Гаусса
Закон Ома
Закон Ампеpа
Феppомагнетизм
Электротехника и электроника
Резонанс напряжений
Методы расчета сложных цепей
Трехфазные цепи
Цепи со взаимной индуктивностью
Несинусоидальные токи
Математика
Вычислительная математика
Векторная алгебра
Графика
Начертательная геометрия
Сборочные чертежи
Инженерная графика
Построение лекальных кривых
Геометрические построения
Позиционные задачи
Информатика
Электронная коммутация
Модернизация компьютера
Архитектура компьютера
Маршрутизация
Экспертные системы
Компьютерная безопасность
Требования к защите компьютерной информации
Проектирование системы защиты
Авторизация
Категорирование прав доступа
Диспетчер доступа
Антивирусная защита
Атомная энергетика
Атомные батареи
Физика атомного реактора
Атомные электростанции
Испытания атомного оружия
Воспоминания участников
атомного проекта

Трехфазные цепи В предыдущей главе рассматривалась работа электрических цепей, питающихся от однофазных синусоидальных источников тока или напряжения.

Важным обстоятельством является то, что система векторов фазных ЭДС генератора на комплексной плоскости образует симметричную трехлучевую звезду и сумма этих векторов в любой момент времени равна нулю.

Установим взаимосвязь между комплексами линейных и фазных напряжений источника

Режимы работы трехфазных цепей Соединение «звезда-звезда» с нулевым проводом и без нулевого провода.

Несимметричная нагрузка Пусть Ra ¹ Rb = Rc; а) четырехпроводная звезда.

Напряжение смещения  можно также определить методом засечек

В четырехпроводной системе при коротком замыкании фазы приемника получаем короткое замыкание фазы источника. б) трехпроводная звезда.

Сравнив схемы соединения потребителей трех- и четырехпроводной звездой, можно сделать вывод, что однофазные приемники надо включать по схеме четырехпроводной звезды для обеспечения постоянства напряжений на зажимах этих приемников.

Фазы по-прежнему работают независимо друг от друга и поэтому фазные токи ; ; .

Мощность трехфазных цепей Рассмотрим расчет мощности при соединении приемников по схеме четырехпроводной звезды и допустим, что нагрузка несимметрична.

Пусть трехфазный приемник с сопротивлением фазы Zф соединен «звездой», тогда активная мощность .

Приемники, соединенные по схеме трехпроводной звезды или треугольником.

Метод симметричных составляющих Любую несимметричную трехфазную систему можно разложить на три симметричные трехфазные системы: прямой, обратной и нулевой последовательностей.

Фильтры симметричных составляющих Симметричные составляющие несимметричных систем можно определить не только аналитически или графически, но и при помощи электрических схем, называемых фильтрами симметричных составляющих.

Пульсирующее магнитное поле Вращающееся магнитное поле нашло исключительно широкое практическое применение.

Вращающееся магнитное поле системы двух катушек Пусть даны две одинаковые катушки, оси которых расположены под углом 90° по отношению друг к другу (рис.5.2).

Вращающееся магнитное поле системы трёх катушек Рассмотрим аналогичную систему трёх катушек, оси которых сдвинуты на угол 120°.

Задача 10.3

 Построить кривые изменения во времени потокосцепления ψ тока i и напряжения и на индуктивной катушке в схеме рис. 10.3 а.

 Характеристика ψ = f (i) изображена на рис. 10.3 б; ψm = 0,015 В∙с. График действующей э. д. с. e = f (t) изображен на рис. 10.3 в; Em = 100 В. Период T = 9∙10-4 с; R = 1000 Ом.

 а) б) в) г)

Рис. 10.3

Решение

 К концу отрицательного полупериода ψ = - ψm и i = 0, в положительный полупериод в уравнении  слагаемое Ri = 0 в случае, когда изображающая точка перемещается по вертикальному участку зависимости ψ = f (i), т. е. когда происходит перемагничивание индуктивной катушки. В этом интервале времени ; , где С – постоянная интегрирования. При t = 0 ψ = - ψm, отсюда С = - ψm; потокосцепление ψ изменяется по закону  до момента времени , тогда ψ достигает ψm. В интервале от Т/3 до Т/2 ψ = ψm; Ri = e(t). Следовательно, i = E/R = 0,1 A. Графики требуемых величин в функции t показаны на рис. 10.3 г.

Задача 10.4

Цепь состоит из последовательно соединенных линейного и нелинейного НЭ резисторов и источника ЭДС , где Еm = 120 В;  = = 314 рад/с (рис. 10.4). Сопротивление линейного резистора R = 40 Ом, вольт-амперная характерис-тика нелинейного резистора аппроксимирована зависимостью

 ; (1)

 Рис. 10.4 где а = 50 Ом; b = 40 В/Аз.

Определить первую гармонику тока в цепи методами:

1) гармонического баланса;

2) гармонической линеаризации.

Решение

1. Метод гармонического баланса.

Уравнение цепи по второму закону Кирхгофа:

. (2)

Представим ток гармонической функцией . Требуется определить амплитуду тока Im, и сдвиг по фазе j относительно ЭДС.

Для удобства последующих преобразований обозначим ; тогда заданная ЭДС .

Подставим искомое решение для тока в уравнение цепи (2) и выделим синусную и косинусную составляющие в выражении ЭДС:

.

Приравняв коэффициенты при одноименных тригонометри­ческих функциях в левой и правой частях равенства, получим:

 (3)

 (4)

Из уравнения (3) следует, что . Уравнение (4) при заданных численных значениях величин

приведем к виду

и решим, где p = 1; g = -2;

А;

т. е.  А.

Метод гармонической линеаризации

При  нужно определить Im и j .

Определим сопротивление нелинейного резистора по 1-й гармонике , где в соответствии с (1)   - амплитуда 1-й гармоники напряжения на нелинейном элементе. Сопротивление в комплексной форме

так как у резистора первые гармоники напряжения и тока совпадают по фазе.

Составим уравнение цепи по второму закону Кирхгофа в комплексной форме

,

где комплексные величины < -j .

После подстановки численных значений получим:

.

Поскольку правая часть уравнения действительная, то j = 0 и уравнение приводится к виду , откуда Im = 1 А.

Задача 10.5

Катушка со стальным магнитопроводом имеет постоянное подмагничивание и подключена к источнику ЭДС , где Еm = 40 В, рад/с. Вебер-амперная характеристика катушки с учетом подмагничивания задана зависимостью , где ток измеряется в амперах, потокосцепление в веберах.

Определить ток в катушке.

Решение

Для определения тока в катушке предварительно вычислим потокосцепление

, (1)

где  Вб.

Постоянная интегрирования  определяется из условия отсутствия постоянной составляющей у тока катушки. Подставив  по (1) в заданную зависимость тока, получим:

 (2)

откуда из условия отсутствия постоянной составляющей тока следует, что

;

или

 (3)

- кубическое уравнение.

Постановкой

 (4)

приводим уравнение (3) к виду, где в соответствии ; . Таким образом, получили уравнение

;

находим .

По (4) искомое значение постоянной интегрирования  Вб. Подставив  в выражение (2), найдем ток

А.

 

Цепи с распределенными параметрами

Задача 11.1

 Рассчитать первичные параметры стальной воздушной двухпроводной цепи  при температуре окружающей среды -14 ºС при сухой погоде, если расстояние между осями проводов a = 60 см, их диаметр d = 4 мм. Частота тока ƒ = 800 Гц. Относительную магнитную проницаемость проводов принять равной 120.

Решение

 В начале определяем сопротивление 1 км линии при постоянном токе и температуре +20 ºС:

 Ом/км,

где ρ = 0,138 Ом∙м/мм2. Сопротивление при постоянном токе при t = -14º:

Ом/км,

где αк = 0,0046.

Резистивное сопротивление 1 км линии при переменном токе определим по формуле .

 Здесь F(x) – поправочный коэффициент, учитывающий увеличение резистивного сопротивления линии вследствие поверхностного эффекта; он является функцией x, определяемой по формуле

Применяя линейное интерполирование, найдем F(x), соответствующее x=5,1:

Итак, резистивное сопротивление 1 км линии:

 Ом/км.

 Индуктивность 1 км двухпроводной воздушной линии определим по формуле

 Гн/км,

где Q(x) = 0,547 (для х = 5,1).

Емкость 1 км двухпроводной линии

 Ф/км.

Резистивную проводимость между проводами найдем по формуле , учитывая, что проводимость изоляции при сухой погоде G' = = 0,01∙10-6 См/км, а n – коэффициент диэлектрических потерь в изоляторах, при этой погоде он равен 0,05∙10-9:

 См/км.

Задача 11.2

 Для линии длиной l = 38 км, первичные параметры которой были найдены в задаче 11.1, при частоте ƒ = 800 Гц определить: модуль Zв и фазу φв волнового сопротивления, его резистивную и реактивную составляющие, коэффициенты ослабления, фазы и распространения (α, β и g), фазовую скорость распространения электромагнитной волны вдоль линии υф и длину волны λ, отношение U2пр/U1пр = I2пр/I1пр при нагрузке линии на сопротивление, равное волновому, где U2пр и I2пр – амплитуды напряжения и тока прямой (падающей) волны в конце линии; U1пр и I1пр – то же, в начале линии. Чему равна задержка во времени при прохождении волной всей длины линии?

Решение

Волновое сопротивление

;

 Ом.

Резистивная и реактивная составляющие волнового сопротивления:

Rв = 1510cos20º21' = 1415 Ом; xв = -1510sin20º21' = -525 Ом.

Коэффициент распространения

;

 км-1.

Отсюда коэффициенты затухания и фазы

α = 38,8∙10-3cos69º31' = 13,6∙10-3 Нп/км = 0,12 дБ/км;

β = 38,8∙10-3sin69º31' = 36,4∙10-3 рад/км.

Фазовую скорость и длину волны в линии определяем по формулам

;

м/с.

 км/с;

 км.

 Отношения амплитуд напряжений и тока для прямой волны в конце и в начале линии при согласованной нагрузке, как это следует из уравнения , при x=l имеют вид

Задержка во времени

Задача 11.3

 Найти первичные и вторичные параметры симметричной кабельной линии при частоте ƒ = 220 кГц. Жилы медные, диаметром d = 1,2 мм, расстояние между центрами проводов а = 4,15 мм. Скрутка звездная (коэффициент p, учитывающий этот тип скрутки жил кабеля, равен 5). Эквивалентная диэлектрическая проницаемость изоляции ε = 1,4, тангенс угла потерь tgδ = 160∙10-4. Температура среды 20 ºС. Определить фазовую скорость и длину волны в кабеле.

Решение

 Сопротивление 1 км кабеля при переменном токе вычисляется по формуле

 Ом/км.

Здесь .

Для определения сопротивления 1 км кабеля при переменном токе вычислим коэффициент

 

Применяя линейное интерполирование, найдем F(x)=1,36; G(x)=0,91; H(x)=0,57; Q(x)=0,473. Резистивное сопротивление 1 км кабеля определяют по формуле

 Ом/км.

В диапазоне высоких частот (свыше 30 кГц) еще учитывают дополнительное сопротивление кабельной линии, обуславливаемое потерями на вихревые токи в соседних проводниках и свинцовой оболочке:

Окончательно получаем резистивное сопротивление единицы длины кабеля:

Погонные индуктивность и емкость двухпроводной кабельной цепи определяют по формулам

Проводимость изоляции 1 км кабельной линии

Вторичные параметры кабеля находим по формулам:

 

;

;

рад/км.

По формулам

вычисляем фазовую скорость и длину волны в кабеле:

км/с;

 км.

Задача 11.4

Определить первичные и вторичные параметры стандартизированной коаксиальной пары типа КМ-4∙2,52/9,4 с шайбовой, полиэтиленовой изоляцией при частоте ƒ = 220 кГц. Диаметр жилы d = 2,52 мм, внутренний диаметр внешнего проводника D = 9,4 мм, эквивалентная диэлектрическая проницаемость изоляции ε = 1,1, тангенс угла диэлектрических потерь tgδ = 0,5∙10-4, температура 20 ºС. Найти также длину волны и фазовую скорость.

Решение

 Первичные параметры вычислим по формулам:

 Ом/км;

 Гн/км;

 Ф/км;

 См/км.

Вычислим вторичные параметры. Так как R0 = 19,7 << ωL0 = 364 и

G0 = 3,2∙10-6 << ωC0 = 64 000∙10-6, то расчет можно вести по приближенным формулам:

 Ом;

 Нп/км = 1,14 дБ/км;

 рад/км.

Длину волны и фазовую скорость определяем по формулам

м;  км/с.

Для сравнения приведем расчет по точным формулам:

 ;

 Ом;

 км-1;

т.е. α = 0,13 Нп/км = 1,13 дБ/км, β = 4,8 рад/км.

 Результаты, полученные по точным формулам, весьма близки с рассчитанными по приближенным формулам.

Примеры решения типовых задач математика, физика, электротехника