Векторная и линейная алгебра и аналитическая геометрия Контрольная работа

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А (−4; 8), В(5; −4), С(10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнения окружности, для которой высота СD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А (3; 0) и до прямой х=12 равно числу =0,5. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую

Элементы линейной алгебры Задача 5. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Введение в анализ Вычислить пределы

Производная и дифференциал Задача 8. Найдите производные функции

Приложения производной Задача 9. Исследовать функцию у= и построить ее график.

Задача 10. Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара при его емкости 108 л воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?

Дифференциальные уравнения Задача12. Решить уравнение у'−у tg x=−y2cos x.

 Задача 14. Написать первые три члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Задача 16.Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9.Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

Случайные величины и их числовые характеристики Задача 20. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Элементы линейного программирования

Задача 1. Вычислить . Решение. Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену . Дифференцируя обе части равенства, получим , т.е. . Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Задача 6. Вычислить .

Задача 11. Вычислить . Решение. При интегрировании иррациональных выражений вида  (здесь R – рациональная функция;   - целые числа) подстановка , где к – наименьшее общее кратное знаменателей , позволяет избавиться от иррациональности. В данном случае  Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6. Применяем подстановку  

Задача 15. Вычислить Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей

Задача 18. Найти работу вектор-силы  на криволинейном пути

Задача 21. Определить, какие ряды сходятся

Задача Найти область сходимости функционального ряда

Задача 26. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Задача 28. Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти уравнения в полных дифференциалах

Контрольная работа Аналитическая геометрия. Элементы векторной и линейной алгебры

Пример 2. Составить канонические уравнения: а) эллипса, большая ось которого равна 5, а фокус находится в точке F(3,0); б) гиперболы с мнимой осью в=3 и ; в) параболы, имеющей директрису x=-3.

Контрольная работа №2 Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной.

Пример 2. Исследовать функцию  на непрерывность в точках , .

Контрольная работа №3 Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Теория поля.

Пример 2. Найти величину и направление наибольшего изменения функции   в точке .

Контрольная работа Дифференциальные уравнения. Ряды.

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение типового варианта контрольной работы. Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

Пример2. Найти область сходимости ряда . Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:

Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .

Кривые второго порядка

Примеры решения типовых задач: кривые второго порядка Задача Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением .

Задание. Определить скалярное произведение  векторов

Пример Найти сумму матриц  и

Линейная алгебра В данном разделе рассматриваются такие объекты, как матрицы и действия над ними, а также определители, которые затем используются для решения систем линейных уравнений.

Пример. Вычислить определитель матрицы 2-го порядка

Пример Вычислить определитель

Пример. Найти матрицу обратную матрице .

Пример. Найти все миноры матрицы и определить среди них базисные

Примеры решения типовых задач: матрицы

Задача. Вычислить обратную матрицу для .

Решение систем линейных уравнений

Пример Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера, матричным методом и методом Гаусса-Жордано

Пример Исследовать совместность и найти общее решение и одно из частных решений системы линейных уравнений

Примеры решения типовых задач: системы линейных уравнений Задача Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Задача . Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

Задание. Найти общее и одно из частных решений системы линейных уравнений

Задание. Вычислить значение функции f (х) в точке x=0.49, используя линейную интерполяцию.

Аналитическая геометрия. Элементы векторной и линейной алгебры. Комплексные числа

Дана система линейных алгебраических уравнений

Составить канонические уравнения: а) эллипса, большая ось которого равна 5, а фокус находится в точке

Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной

Исследовать функцию  на непрерывность в точках , .

Пример. Найти производную функции y, если .

Функции нескольких переменных

Пример Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в треугольнике, ограниченном прямыми , , .

Пример Вычислим работу силы  вдоль отрезка прямой АВ, если А(1, 1, 1) и В(2, 3, 4).

Дифференциальные уравнения

Найти решение системы дифференциальных уравнений методом характеристического уравнения.

Разложение подынтегральной функции в степенной ряд

Упражнение. Найти производные, пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

Упражнение  Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и начертить график.

Найти неопределенные интегралы

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения I порядка .

Решение типового варианта контрольной работы Вычислить определитель

 

Примеры решения типовых задач математика, физика, электротехника