Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А (−4; 8), В(5; −4), С(10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнения окружности, для которой высота СD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение:1. Расстояние d между точками М1 (х1; y1) и М2 (x2; y2) определяется по формуле:

d =  (1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

АВ = = =15

2. Уравнение прямой, проходящей через точки М1 (х1; y1) и М2 (x2; y2), имеет вид:

  =  (2)

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

 =  =  = ,

3у – 24 = − 4х – 16, 4х + 3у – 8 = 0 (АВ).

Для нахождения углового коэффициента kАВ прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у: у = − Отсюда kАВ= − . Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

 ,

х+7у-52=0 (АС).

Отсюда kАС = −.

3. Угол  между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k 2, определяется по формуле:

tg =. (3)

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее k1=kАВ= −, k 2= kАС=−.

tg А = ===1,

А = arctg 1 = 45°0,79 рад.

4. Так как высота СD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.

kСD=−=−=.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1 (х1; y1) в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид:

у – у1=k(х – х1).

Подставив в (4) координаты точки С и kСD=, получим уравнение высоты СD:

у – 6 =  (х – 10), 4у – 24 = 3х – 30, 3х – 4у – 6=0 (CD) (5)

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (CD):

 откуда х = 2, у = 0, то есть D (2;0).

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:

CD == =10.

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке Е(а; b) имеет вид:

 (х – а)2+(у – b)2 = R2. (6) 

Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

хЕ===6, уЕ= ==3.

Следовательно, Е (6; 3) и R==5. Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности:

(х – 6)2 + (у – 3)2 = 25.

6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А,а третья ограничена прямой АС и содержит точку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой, АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:

4·10 + 3·6 – 8 =50 > 0.

Поэтому искомое неравенство имеет вид: 4х + 3у – 8 ≥0.

Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:

  

2х – у – 14 =0 (ВС).

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем: 2·(−4)– 8–14=−30<0. Искомое неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой Ас и содержащую точку В: 5+7·(−4)–52=−75<0. Третье искомое неравенство х+7у–52≤0. Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств

 

 На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник АВС, высота СD, окружность с центром в точке Е.

Основы векторной алгебры

В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.

Основные понятия векторной алгебры

Определение 1.1. Пусть даны две точки на плоскости  и . Вектором называется направленный отрезок, идущий из точки  в точку  (Рис. 1.1). Точка  называется началом вектора, точка  – концом.

Рис.1.1. Направленный отрезок – вектор

 

Вектор обозначают строчной латинской буквой со стрелкой –  или прописными буквами, обозначающими начало и конец вектора – .

Определение 1.2. Величину, не имеющую направления, называют скалярной или скаляром.

Определение 1.3. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается как  (читается как «модуль вектора а» или «модуль вектора АВ»).

Когда начало и конец вектора совпадают, то говорят о нулевом векторе, который обозначают как . Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение 1.4. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором или ортом.

Определение 1.5. Два вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых и обозначают как . Вектора называются компланарными, если они лежат в одной (или в параллельных) плоскостях (Рис. 1.2.).

 

Рис.1.2. Взаимное расположение коллинеарных векторов

 

Определение 1.6. Два вектора называют равными, если они коллениарны, одинаково направлены и их длины совпадают:  и .

Условие сонаправленности в данном определении очень важно, так как вектора, имеющие одинаковую длину, но направленные в разные стороны, уже не являются равными.


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач