Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Ряды

 Задача 14. Написать первые три члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение. Беря последовательно n = 1, 2, 3, …, запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

.

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях x, которые удовлетворяют неравенству

, или , или .

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При   данный ряд принимает вид .

Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при n→ ∞ . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит,

  принадлежит области сходимости данного ряда.

При  данный ряд принимает вид . Исследуем сходимость

Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

.

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при x =  исходный ряд сходится.

Таким образом,  - область сходимости данного ряда .

Задача 15. Вычислить  с точностью до 0,001.

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив x в разложении функции sin x на , имеем:

Тогда

 .

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвертый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда

.

Вопросы для самопроверки

Что называется числовым рядом?

Что называется n-й частичной суммой числового ряда?

Какой числовой ряд называется сходящимся?

Что является необходимым условием сходимости числового ряда?

Назовите достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов.

Назовите признак Даламбера сходимости рядов.

В чем состоит интегральный признак сходимости Коши?

Какие ряды называются знакочередующимися? Приведите примеры.

Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

Какие знакочередующиеся ряды называются абсолютно сходящимися? Условно сходящимися?

Дайте определение степенного ряда и области его сходимости.

Как найти область сходимости степенного ряда? 

Запишите разложение в степенной ряд функций , sin x, cos x, 

  , ln (1+x) .

Как обеспечивается требуемая точность при применении степенных рядов в приближенных вычислениях?

Пример 1.6. Вычислить определитель матрицы 2-го порядка: .

Решение: По формуле для вычисления определителя имеем: .

Ответ: 16.

Пример 1.7. Вычислить определитель матрицы 3-го порядка: .

Решение: По формуле вычисления определителя матрицы 3-го порядка имеем:

.

Ответ: 40.

 

Векторное и смешанное произведения векторов

Определение 1.17. Векторным произведением двух ненулевых векторов  и  называется вектор, обозначаемый как , удовлетворяющий условиям:

- вектор  перпендикулярен векторам  и ;

- длина  равна , где ;

- векторы , ,  образуют правую тройку, то есть если векторы , ,  приведены к общему началу, то из конца  поворот от вектора  к вектору  на меньший угол происходит против часовой стрелки (Рис. 1.7).

Рис. 1.7. Векторное произведение двух ненулевых векторов


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач