Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Случайные величины и их числовые характеристики

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 20. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

 Х 40 42 41 44,

 Р 0,1 0,3 0,2 0,4.

Найти: 1) математическое ожидание М (Х); 2) дисперсию D (Х); 3) среднее квадратическое отклонение σ.

Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

 Х   …  

 Р   ,

где в первой строке даны значения случайной величины Х, а во второй – вероятности этих значений , то математическое ожидание М (Х) вычисляется по формуле

.

Тогда M (X) = 40 · 0,1 + 42 · 0,3 + 41 · 0,4 = 42,4.

2) Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

.

Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения X от M (X). Из последней формулы имеем 

D (X) = ( 40 – 42,4 )²∙0,1+(42 – 42,4)2∙0,3+(41 – 42,4)2∙0,2+

+(44 – 42,4)2∙0,4=2,42∙0,1+0,42∙0,3+1,420,2+1,62∙0,4=

=2,04.

Дисперсия D(X) можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(X) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания M (X), то есть

D (X) = M (X²) - [ M (X) ]².

Для вычисления M (X²) составим следующий закон распределения величины X² :

 X² 40² 42² 41² 44²

 P 0,1 0,3 0,2 0,4.

Тогда

M (X²) = 40² · 0,1 + 42² · 0,3 + 41² · 0,2 + 44² · 0,4 =

= 160 + 529,2 + 336,2 + 774,4 = 1799,8 и

D (X) = 1799,8 – 42,4² = 2,04.

3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг его среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение σ (X) случайной величины X, равное квадратному корню из дисперсии D (X), то есть

 .

Из этой формулы имеем: .

Задача 21. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

 0 при х < 0,

 F (x) = х³ при 0 ≤ х ≤1,

 1 при х > 1.

Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f (x); 2) математическое ожидание M (X); 3) дисперсию D (X) .

Решение. 1) Дифференциальная функцией распределения f(x) непрерывной случайной величины X называется производная от интегральной функции распределения F (x) , то есть

.

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

 0 при х < 0 ,

 f (x) = 3 при 0 ≤ х ≤ 1,

 0 при х > 1.

2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f (x) , то ее математическое ожидание определяется формулой

.

Так как функция f (x) при x < 0 и при x >1 равна нулю, то из последней формулы имеем

.

3) Дисперсию D (X) определим по формуле

.

Тогда

.

Задача 22. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40мм и средним квадратическим отклонением 3мм.Найти:1) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем 1,5мм.

Решение: 1) Пусть Х - длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией f (х), то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку [α ; β ] , определяется по формуле

.

Вероятность выполнения строгих неравенств L < X < B определяется той же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то

, (1)

где Ф (х ) – функция Лапласа, a =M (X), σ = .

В задаче а = 40, α = 34, β = 43, σ = 3. Тогда

.

2) По условию задачи а – δ < Х < а + δ, где а = 40; δ = 1,5. Подставив в (1) α = а – δ, β = а + δ, имеем

 , то есть

 (2)

Из формулы (2) имеем:

.

Вопросы для самопроверки

Какие случайные величины называются дискретными? непрерывными? Приведите примеры.

Что называется законом распределения случайной величины? Как задается закон распределения дискретной случайной величины?

Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? ее дисперсия? средним квадратическим отклонением? Перечислите их свойства.

Дайте определение интегральной функции распределения; дифференциальной функции распределения. Перечислите свойства этих функций.

Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины?

Напишите дифференциальную функцию для нормального закона распределения.

Напишите формулу для определения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданной интервал.

сформулируйте правило « трех сигм ».

Назовите сущность закона больших чисел.

Напишите неравенство Чебышева.

Сформулируйте теорему Чебышева; теорему Бернулли.

Задача 1.14

Смешанное произведение . Найти смешанное произведение .

Решение: Согласно определению смешанного произведения:

{Используя свойства векторного произведения, имеем}{Так как , получаем}{По свойствам скалярного произведения}

{По определению смешанного произведения выражение преобразуется}

{В смешанном произведении неважен порядок векторного и скалярного произведения, поэтому выражение можно преобразовать}

{Так как , получаем}{Произведя циклическую перестановку членов смешанного произведения и учитывая знак, имеем}

{Используя тот факт, что , полчаем ответ}.

Ответ: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач