Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Элементы линейного программирования

Задача 23. Предприятие имеет возможность приобрести не более 20 трехтонных и не более 18 пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонного грузовика 4000 у.е, пятитонного – 5000 у.е. Сколько нужно приобрести автомашин каждой марки, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной, если для приобретения автомашин выделено 150 тысяч рублей? Задачу решить графическим и аналитическим методами.

Решение. Пусть приобретено  трехтонных и  пятитонных

 автомашин. Из условия задачи имеем

 

 ≤  20 

0 ≤  ≤ 18 

4+ 5 = 150 . (1)

Суммарная грузоподъемность приобретенных грузовиков равна

 L = 3 + 5 . (2)

Задача состоит в нахождении такого решения системы (1) , при котором линейная форма (целевая функция) (2) принимает наибольшее значение.

Графический метод решения

В прямоугольной системе координат  построим многоугольник

OABCD, образованный прямыми = 0 (OD),  =20 (AB),  = 0 (AO ),  = 18 ( CD), 4 + 5 = 150 ( BC) и прямую 3 + 5 = 0 (l) ( рис. 9 ).

Системе (1) удовлетворяют координаты точек, лежащих на пятиугольнике OABCD и внутри него. Так как прямые (l) и BC не параллельны, то для нахождения оптимального решения системы (1), для которого линейная форма (2) принимает наибольшее значение, достаточно найти значения этой формы в точках A, B, C, D и из полученных чисел выбрать наибольшее. В нашей задаче эти точки имеют следующие координаты: А (20; 0), В (20; 14), С (15, 18), D (0; 18). Подставляя координаты этих точек в (2), получим:

 

 L (A) = L (20; 0 ) = 60; L (B) = L (20; 14) = 130;

 L (C) = L (15; 18) = 135; L (D) = L (0; 18) = 90.

Рис. 9

Следовательно, L = L (15; 18) = 135, то есть предприятию следует приобрести 15 трехтонных и 18 пятитонных автомашин, при их общей грузоподъемностью 135 т.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте основную задачу линейного программирования. Приведите примеры.

Дайте геометрическую интерпретацию основной задачи линейного программирования.

В чем суть симплекс-метода решения задач линейного программирования?

Аналитическая геометрия

 Уравнение линии

Рассмотрим декартовую систему координат на плоскости.

Определение 2.1. Уравнение  называется уравнением линии  относительно заданной системы координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты ни одной из точек, не лежащей на ней.

Линию  еще называют кривой, а ее уравнение – уравнением в общем виде или в неявной форме.

Примеры линий

2.1. . Этому уравнению удовлетворяют точки, у которых абсцисса равна ординате, то есть данное уравнение описывает биссектрису I и III квадрантов (Рис. 2.1).

2.2. . Данное уравнение описывает биссектрису II и IV квадрантов (Рис. 2.1).

 

Рис. 2.1. Биссектрисы I и III квадрантов, II и IV квадрантов

2.3. . Этому уравнению удовлетворяют точки обеих биссектрис (и только они).

2.4. Для точек, лежащих на окружности также можно записать уравнение в виде: , где  – центр окружности,  – радиус,  - точка, принадлежащая окружности (2.2). Действительно, по определению окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от центра на расстояние  . Вектор  имеет координаты , значит, квадрат его длины равен .

Рис. 2.2. Окружность есть геометрическое место точек


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач