Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

ИНТЕГРАЛЫ

Задача 1. Вычислить .

Решение. Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену . Дифференцируя обе части равенства, получим , т.е. . Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Следовательно,

Задача 2. Вычислить .

Решение. Сведем данный интеграл к табличному (3), сделав замену переменной . Тогда   Изменяем пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Получаем

Задача 3. Вычислить .

Решение. Интеграл относится к группе интегралов: , , , где - многочлен степени п. Вычисление таких интегралов выполняется интегрированием по частям по формуле (17)

 Если за и принять многочлен , то в результате применения формулы (17) интеграл упростится (уменьшится степень многочлена).

Обозначим  Найдем

 Тогда

Задача 4. Вычислить .

Решение. Этот интеграл относится к группе интегралов вида , , ,

 (- многочлен степени п) и вычисляется по формуле интегрирования по частям (17). В результате применения этой формулы исходный интеграл упростится, если за и принимать функции . Итак, положим  

Тогда

Получаем

Задача 5. Вычислить .

Решение. Выполним замену переменной:

Получим  

В подынтегральном выражении выделим целую часть:

Тогда

В интеграле  сделаем замену:

,

при этом

Возвращаясь к переменной х, получим

Векторное произведение обладает свойствами:

1)  векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тгда и только тогда, когда они коллинеарны, в частности ;

2) , где  – скаляр;

3) ;

4) ;

5) длина  равна площади параллелограмма, построенного на векторах  и , приведенных к одной точке;

6) если координаты векторов  и  известны в декартовом базисе  как  и , то их векторное произведение можно представить в виде:

.

Определение 1.18.  Смешанным произведением трех ненулевых некомпланарных векторов , ,  называется число, равное скалярному произведению вектора   и .

Обозначается смешанное произведение как  или .

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1) геометрически смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах и взятого со знаком «+», если   – правая тройка и со знаком «–», если  – левая тройка;

2) в смешанном произведении неважно, в каком порядке брать векторное и скалярное произведение: ,

но при перестановке двух  сомножителей меняется знак: ;

3) три вектора компланарны, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю;

4) если координаты векторов ,  и  известны в декартовом базисе  как ,  и , то их векторное произведение можно представить в виде:

.


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач