Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Задача 11. Вычислить .

Решение. При интегрировании иррациональных выражений вида  (здесь R – рациональная функция;   - целые числа) подстановка , где к – наименьшее общее кратное знаменателей , позволяет избавиться от иррациональности. В данном случае  Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6. Применяем подстановку  

Тогда  и

Возвращаясь к переменной х с учетом того, что , получим

Задача 12. Вычислить .

Решение. При вычислении интегралов вида , где R – рациональная функция, используется универсальная тригонометрическая подстановка , приводящая к интегралам от рациональных относительно t функций, при этом

, .

Из равенства  находим .

В данном случае получаем

Сделаем замену

Тогда

Возвращаясь к переменной х, получим

Задача 13. Вычислить .

Решение. Интегралы вида , , , где R – рациональная функция, приводятся к интегралам вида , если выполнить замену переменной:

- для первого интеграла  (или );

- для второго интеграла (или );

- для третьего интеграла  (или ).

Данный интеграл вычисляем заменой .

Тогда .

Получаем

.

,

тогда

Возвращаясь к старой переменной при , получаем

Задача 14. Вычислить

Решение. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию – дробь – в сумму простейших дробей. Множителю соответствует сумма двух простейших дробей , а множителю  - дробь .

Тогда подынтегральная функция будет иметь вид

Правую часть равенства приведем к общему знаменателю (он должен быть равен знаменателю левой части равенства) и приравняем числители получившихся дробей:

.

Найдем А, В, С. Сначала применяем метод частных значений. Равенство должно выполняться при любых х, поэтому подставим вместо х «хорошие» числовые значения (обращающие часть скобок в 0). Здесь это 1 и -2. При  получим  и . При  равенство принимает вид , а . В найдем методом неопределенных коэффициентов, согласно которому приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства. Например, при . Тогда .

Итак, 

Вычисляем интеграл

Примеры решения типовых задач: векторная алгебра

Задача 1.1.

Даны два вектора  и . Найти координаты вектора .

Решение: Из свойства 1 следует, что , следовательно: .

Ответ: .

Задача 1.2

Найти координаты вектора  , соединяющего точку  с координатами  и точку  с координатами .

Решение:  Обозначим координаты точки  как , координаты точки  как . Из свойства 2 следует: вектор  имеет координаты . Подставляем исходные значения: .

Ответ: .

Задача 1.3

Доказать, что два вектора  и  коллинеарны.

Решение: Из свойства 3 следует, что для решения необходимо проверить выполнение равенства: . Подставим заданные значения координат: , откуда: . Равенство верно.

Ответ: исходные вектора коллинеарны.


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач