Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Задача 18. Найти работу вектор-силы  на криволинейном пути

Решение. Работа А, совершаемая вектор-силой

 

на криволинейном пути L, есть криволинейный интеграл II рода (формула (32)), т. е.

Кривая задана параметрически, поэтому применяем формулу (31):

где

Тогда

Задача 19. Вычислить , если D ограничена линиями

Решение. На рисунке построена область D – криволинейный треугольник.

1 способ. Двойной интеграл можно вычислить по формуле (33):

Здесь

поэтому

2 способ. Можно использовать формулу (34):

Тогда 

Значит,

Задача 20. Вычислить ,

где D – правая половина кольца (см. рисунок).

Решение. Будем вычислять интеграл в полярных координатах по формуле (35):

Здесь .

Так как  (формулы перехода к полярным координатам), то  

Тогда уравнения окружностей  и  принимают вид  

Следовательно,

Задача 1.6

Для векторов  и  найти их проекции друг на друга:  и  в декартовой системе координат.

Решение: Для определения проекции  найдем скалярное произведение векторов; для декартовой системы координат справедлива формула: . Подставляем исходные координаты: . Найдем длину , из формулы для декартовых координат имеем: . Подставим найденные значения в искомую формулу: . Аналогично найдем вторую проекцию: . Ответ: ; .

Задача 1.7

Определить в декартовой системе координат угол между вектором  с координатами {4, 1, 1} и вектором  с координатами {2, 2, -1}.

Решение: Для вычисления угла по формуле  необходимо определить длины векторов и их скалярное произведение.

. Определяем длины векторов ; . Подставляем в формулу: . Решая данное тригонометрическое уравнение, получим: . Ответ: .

Перед рассмотрением таких операций над векторами, как векторное и смешанное произведения, введем понятие определителя. С помощью определителя векторное и смешанное произведения можно представить через координаты векторов.


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач