Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Задача 23. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Это частный случай функционального ряда – степенной ряд вида

Радиус сходимости R такого ряда можно найти по одной из формул:

  или .

Интервал абсолютной сходимости степенного ряда определяется неравенством . Вне этого интервала, при  ряд расходится. На концах интервала – в точках  поведение ряда исследуется особо.

Находим радиус сходимости для заданного ряда по первой формуле. Так как , получаем

Тогда ряд сходится, если , откуда , то есть .

Исследуем сходимость ряда в точках  и .

При   исходный ряд принимает вид

Это обобщенный гармонический сходящийся ряд ( сходится, если ).

При   получаем знакочередующийся ряд   Этот ряд сходится (притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов:

Итак, исходный ряд сходится для всех .

Задача 24. Найти коэффициенты  и  разложения в ряд Фурье функции 

Записать это разложение.

Решение. Воспользуемся формулами (36), (37) разложения в ряд Фурье функции , заданной на отрезке :

,

где

Найдем коэффициенты  и . Так как , получим

Так как  можно заменить более простой функцией , получим .

Подставляем найденные коэффициенты в ряд Фурье:

Задача 25. Найти коэффициенты  разложения в ряд Фурье по синусам функции

.

Решение. Коэффициенты  разложения функции в ряд Фурье по синусам определяются по формуле (41):

Тогда

Так как , получим

Задача 1.10

Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы векторами , , .

Решение:  Площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, соответствующих двум соседним сторонам этого параллелограмма:  . Длину векторов в декартовых координатах вычисляем по формуле: ; ; Подставляем в искомую формулу:

. Ответ: .

Задача 1.11

Вычислить смешанное произведение , если , , .

Решение: Так как вектора заданы в декартовой системе координат, то можно воспользоваться формулой представления смешанного произведения через определитель 3-го порядка, а отсутствующие координаты в разложениях заменить нулем:

. Ответ: –25.


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач