Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Дифференциальные уравнения

Задача 26. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки  где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение  получим

 или 

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим  откуда  

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Задача 27. Найти общий интеграл дифференциального уравнения 

Решение. Это однородное дифференциальное уравнение. Его вид  позволяет сделать замену  и свести к уравнению с разделяющимися переменными. Итак, заменяя функцию у на t , получаем

,

Уравнение примет вид

Разделяем переменные и интегрируем:

Выполнив обратную замену, находим общий интеграл исходного уравнения – решение, записанное в неявном виде

Задача 2.11

Записать уравнение плоскости, проходящей через точки ,  и образующей с плоскостью  угол равный .

Решение: 1) Для определенности положим, что  – фиксированная точка, радиус-вектор которой ;  – точка, с помощью которой строим вектор , лежащий в искомой плоскости. Его координаты: .

2) Так как нормаль  искомой плоскости перпендикулярна этому вектору , то . Скалярное произведение в декартовой системе координат определяется по формуле: , откуда получаем уравнение

3) Нормаль  плоскости  имеет координаты . Подставим известные значения в формулу ( 2.4 ):

,

или .

Итак, имеем систему из двух уравнений относительно трех неизвестных: .

Уменьшим число неизвестных, для чего разделим обе части на :

,

Подставим выражение из первого уравнения во второе, получим:

, откуда .

Получили пропорцию коэффициентов нормали: , откуда в качестве координат нормали возьмем .

Уравнение плоскости запишется в виде:

. Ответ: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач