Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Задача 28. Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти уравнения в полных дифференциалах: 

1)

2)

3)

Решение. Дифференциальное уравнение

является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие

Проверим его для каждого уравнения.

1.

 

 Условие не выполняется.

2.

 

Условие выполняется, тогда

- уравнение в полных дифференциалах.

3.

Условие не выполняется.

Задача 29. Найти общее решение дифференциального уравне­ния 

Решение. Это линейное однородное дифференциальное урав­нение 3 порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение (см. прил.2, п.1)

Так как его корни действительны и различны (), общее решение исходного уравнения имеет вид

 или

Задача 30. Найти общее решение дифференциального уравне­ния 

Решение. Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением 4 порядка с постоянными коэффициентами.

Составим характеристическое уравнение (см. прил. 2, п.1)

Паре корней  соответствует решение

 

Комплексным корням  соответствует решение

Общее решение исходного уравнения есть сумма полученных решений

Задача 31. Указать вид частного решения дифференциального уравне­ния 

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами. Согласно теории таких уравнений (см. прил. 2, п.2) сначала решаем характеристическое уравнение

Затем правую часть уравнения представляем в виде

Получим  Здесь,

Частное решение, определяемое по правой части, будет иметь вид

 

где S – показатель кратности числа 5 как корня характеристического уравнения  

Итак,  или

Задача 32. Указать вид частного решения дифференциального уравне­ния 

Решение. Характеристическое уравнение  имеет корни

Будем искать частное решение  данного уравнения по виду правой части (см. прил. 2, п. 2).

Запишем правую часть данного уравнения в виде

Получим

Значит,

Частное решение будет иметь вид

где - показатель кратности корня  в характеристическом уравнении.

Так как в данном случае значение  совпадает с корнем характеристического уравнения и , получим

или

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве образуется пересечением двух плоскостей (если их нормали не параллельны), таким образом, прямую в пространстве можно задать системой уравнений:

– общее уравнение.

( 2.1 )

Если заданы точка на прямой с радиус-вектором  и направляющий вектор , то для любой точки этой прямой можно записать параметрическое уравнение:

,

( 2.2 )

или каноническое уравнение:

,

( 2.3 )

Расстояние  от точки  с радиус-вектором  до прямой  определяется по формуле:

,

( 2.4 )

где  – радиус-вектор фиксированной точки на прямой, а  - ее направляющий вектор.

Расстояние между двумя прямыми  и  ( и  – не параллельны) вычисляется по формуле:

.

( 2.5 )

Условие пересечения прямых: .

Через прямую в пространстве проходит бесконечно много разных плоскостей, поэтому прямую можно определить системой уравнений бесконечно многими способами.

Чтобы перейти от общего уравнения к параметрическому или каноническому, нужно найти фиксированную точку и направляющий вектор.

Так как прямая задана двумя уравнениями с тремя неизвестными, то одну из координат можно положить равной любому числу (проще всего нулю), затем решить систему относительно оставшихся двух неизвестных. Может случиться так, что система окажется несовместной, то есть на прямой нет точки с такой координатой. В этом случае полагаем другую координату равной нулю (или некоторому числу), и вновь решаем систему относительно двух оставшихся неизвестных.

Направляющий вектор находится как векторное произведение .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач