Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Контрольная работа №1

Аналитическая геометрия. Элементы векторной и линейной алгебры. Комплексные числа.

Основные теоретические сведения

1. Определителем -го порядка называется число , записываемое в виде квадратичной таблицы

и вычисляемое, согласно указанному ниже правилу, по заданным числам , которые называются элементами определителя. Индекс  указывает номер строки, а – номер столбца квадратной таблицы.

Минором  элемента   называется определитель  порядка, получаемый из определителя -го порядка, вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Алгебраическое дополнение  элемента  определяется равенством

.

Рекуррентная формула для вычисления определителя -го порядка имеет вид

(разложение определителя по элементам -й строки).

2. Скалярным произведением двух векторов  и   называется число, определяемое равенством

,

где – угол между векторами   и .

3. Векторным произведением векторов  и  называется вектор , обозначаемый , который удовлетворяет условиям:

1) , ;

2) ;

3) – правая тройка векторов;

  – формула для вычисления площади треугольника.

4. Смешанное произведение трех векторов ,  ,  есть число, равное

.

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах.

5. Выражение вида  называется комплексным числом (в алгебраической и тригонометрической форме соответственно). Здесь , – действительная часть, – мнимая часть комплексного числа ;  и – модуль и аргумент числа :

; .

Извлечение корня -ой степени (– натуральное число) из числа  производится по формуле

,

где .

Пример 1. Дана система линейных алгебраических уравнений:

Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы. Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли.

Решение. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

данной системы и ранг расширенной матрицы

Для этого умножим первую строку матрицы В на –2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на –3 и сложим с третьей, получим

  ~  ~ .

Следовательно, rang A = rang B = 3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение.

а) Находим решение системы по формулам Крамера

где

б) Метод Гаусса. Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Элементы первой строки умножим на –2 и прибавим к соответствующим элементам 2-ой строки, затем элементы первой строки умножим на –3 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.

  ~  ~

Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:

Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:

в) Матричный метод. Так как det A = -16 ¹0, то матрица А невырожденная, существует обратная матрица А-1, определяемая по формуле:

где   являются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов матрицы А.

Введем в рассмотрение матрицы столбцы для неизвестных и свободных членов:

Тогда данную систему можно записать в матричной форме:, отсюда находим  - решение системы в матричной форме.


Решение системы:

таким образом,

Примеры решения типовых задач: прямая в пространстве

Задача 2.12

Написать канонические и параметрические уравнения прямой, образованной пересечением плоскостей  и .

Решение: 1) Найдем координаты фиксированной точки. Из исходной системы уравнений   исключим . Положим , тогда: , откуда находим: , . Таким образом, нашли координаты фиксированной точки .

2) Направляющий вектор определяется как векторное произведение нормалей двух плоскостей, образующих прямую:

 .

3) Запишем канонические уравнения: , или .

4) Обозначив , получаем параметрические уравнения:

, , .

Задача 2.13

Найти уравнение прямой, проходящей через точки   и .

Решение: 1) Возьмем в качестве фиксированной точки точку , тогда направляющий вектор определится как .

2) Тогда канонические уравнения прямой запишутся как . 3) В случае, когда в знаменателе канонических уравнений получается нуль, полагают равным нулю числитель, то есть одна из плоскостей определится уравнением: . Ответ: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач