Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Пример 2. Составить канонические уравнения: а) эллипса, большая ось которого равна 5, а фокус находится в точке F(3,0); б) гиперболы с мнимой осью в=3 и ; в) параболы, имеющей директрису x=-3.

а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид . По условию задачи большая полуось а=5, с=3. Для эллипса выполняется равенство . Подставив значения а и с, найдем в2=16. Искомое уравнение эллипса:

.

б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию задачи мнимая полуось в=3, эксцентриситет . Для гиперболы справедливо равенство  и учитывая, что , находим а2 = 16. Искомое уравнение гиперболы:

.

в) Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид y2=2px, а уравнение ее директрисы . По условию x=-3, следовательно, , уравнение параболы имеет вид .

Пример 3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(2,1,0), B(3,-1,2), C(13,3,10), D(0,1,4). Найти: 1) угол между ребрами AB и AD; 2) уравнение плоскости АВС; 3) угол между ребром AD и гранью АВС; 4) площадь грани АВС; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины AD на грань АВС.

1) Угол между ребрами AB и AD вычисляем по формуле:

,

где

.

;

.

2) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки имеет вид:

.

Подставляя в данное уравнение координаты точек А,В и С, получим:

Разложив определитель по элементам первой строки, получим:

,

отсюда находим искомое уравнение плоскости АВС:

.

3) Угол между ребром AD и гранью АВС вычисляем по формуле:

,

где  - направляющий вектор ребра AD,  - нормальный вектор грани АВС.

.

4) Площадь грани АВС вычисляется по формуле:

.

.

.

.

Окончательно имеем

5) Объем пирамиды вычисляем по формуле:

.

.

Объем пирамиды равен 24 (куб. ед.).

6) Уравнение высоты DM, опущенной из вершины D на грань АВС составляет по формуле

,

где (x0, y0, z0) – координаты точки D,  - координаты направляющего вектора прямой DM. Т.к. DM ^ АВС, то в качестве направляющего вектора  можно взять нормальный вектор . Уравнение прямой Dm запишется в виде:

.

Задача 2.14

Вычислить расстояние от точки  до прямой .

Решение: 1) Для определения расстояния необходимо знать координаты фиксированной точки прямой и ее направляющий вектор, что можно определить сразу из заданного уравнения прямой:  и , тогда радиус-вектор фиксированной точки прямой , а длина . 2) Радиус-вектор исходной точки , тогда . 3) Найдем векторное произведение:

,

откуда .

4) Подставляем в формулу определения расстояния ( 2.4 ) найденные значения: . Ответ: .

Задача 2.15

Найти точку пересечения плоскости  с прямой, заданной общими уравнениями:

 .

Решение: Решение сводится к решению системы трех уравнений с тремя неизвестными: , откуда находим , , .

Ответ: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач