Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Контрольная работа №2

Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной.

Основные теоретические сведения

1. Схема полного исследования функции и построение ее графика.

Для полного исследования функции и построения ее графика можно рекомендовать следующую примерную схему:

указать область определения;

найти точки разрыва функции, точки пересечения ее графика с осями координат;

установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности функции;

найти асимптоты графика функции;

исследовать функцию на монотонность и экстремум;

определить интервалы выпуклости и вогнутости;

построить график функции.

2. Правила дифференцирования. Если – постоянное число и , – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

3. Таблица производных основных элементарных функций

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10..

11.. 12..

13.. 14..

15.. 16..

4. Таблица простейших интегралов

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10..

11.. 12..

5. Формула Ньютона–Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид

,

если  и первообразная   непрерывна на отрезке .

Пример 1. Найти указанные пределы.

а)

б)

в)

г)

Решение:

а)

б)в)

г)

Уравнение прямой на плоскости

Рассмотрим точку  с координатами  и ненулевой вектор  (2.3).

Рис. 2.3. Радиус – векторы точек

 

Обозначим точкой  – начало координат, точка  с координатами  – переменная точка, лежащая на прямой, проведенной через точку  перпендикулярно вектору . Тогда соединяя точки  и  с началом координат , получим радиус – векторы точек –  и , и .

Вектор  перпендикулярен вектору , следовательно, их скалярное произведение равно 0:

.

( 2.1 )

Данное уравнение называется уравнением прямой через ее нормаль. Перепишем данное уравнение в координатной форме: . Точка  – неподвижна, обозначив выражение , получим общее уравнение прямой:

.

( 2.2 )

Еще раз напомним геометрический смысл величин, входящих в уравнение:  – координаты вектора , перпендикулярного к исходному вектору, проходящему через точку с координатами  . Свободный член .

Так как в общее уравнение входят только первые степени  и , то говорят, что прямая на плоскости есть линия первого порядка.

Данное уравнение связывает координаты линии и перпендикуляра к ней. Но точно также можно построить уравнение, связывающее две параллельные прямые.

Проведем параллельно прямой, проходящей через точку  вектор , который называется направляющим вектором прямой. Так как коллинеарные вектора отличаются друг от друга только величиной некоторого скаляра (обозначим его ), то тогда можно записать следующее уравнение, которое называется параметрическим уравнением прямой:

.

( 2.3 )

Или переписав в координатной форме, имеем: , исключив параметр , получаем каноническое уравнение прямой:

.

 

В частности, если прямая проходит через две заданные точки с координатами  и , то каноническое уравнение можно переписать в виде:

.

( 2.5 )

Разрешим общее уравнение прямой относительно переменной  и, приняв условие, что , получим следующее уравнение:

,

( 2.6 )

где ,  при . Данное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом и позволяет определить всякую прямую, расположенную под углом, относительно исходной. Коэффициент  – есть тангенс угла наклона прямой к оси  (Рис. 2.4),  – ордината точки пересечения прямой с осью .

Рис. 2.4. Коэффициент 2 – есть тангенс угла наклона прямой к оси


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач