Пример 2. Исследовать функцию
на непрерывность в точках
,
.
Решение: для точки x1 = 3 имеем:
точка
– точка разрыва II
При
функция определена, следовательно
не является точкой разрыва,
.
Пример 3. Найти производную функции
.
Решение. Логарифмируя данную функцию, получаем:
.
Дифференцируем обе части последнего равенства по х:
.
Отсюда
.
Далее
.
Окончательно имеем:
.
Пример 4. Найти производную функции y, если
.
Дифференцируем обе части данного уравнения по
, считая
функцией от
:
.
Отсюда находим
.
Пример 5. Вычисляем
.
Решение.
Пример 6. Вычислить
.
Решение. Интеграл вычисляется по формуле интегрирования по частям:
.
.
Делаем замену переменной:
.
получим:
.
Пример 7. Вычислить:
.
Решение.
Пример 8. Вычислить:
.
Решение.
.
Делая замену переменной:
.
получаем:
.
Как правило, уравнение с угловым коэффициентом используют в несколько другой форме. Пусть на прямой имеется некоторая точка с известными координатами
, тогда уравнение этой прямой можно записать:
, откуда
, тогда уравнение прямой запишется в виде:
, или
.
( 2.7 )
Вернемся к общей форме уравнения прямой ( 2.2 ). При условии, что
, разделим все члены уравнения на свободный член:
, обозначив
и
, получаем уравнение прямой в отрезках:
.
( 2.8 )
При
имеем
, а при
соответственно
. Таким образом, числа
и
есть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат.
Если две прямые заданы своими уравнениями в общем виде:
и
, то угол между ними можно определить по формуле:
,
( 2.9 )
а если прямые заданы в виде
и
, то по формуле:
.
( 2.10 )
Расстояние от точки
до прямой
находится по формуле:
.
( 2.11 )
При решении задач, прежде всего, обращают внимание на известные величины и в зависимости от них составляют уравнение прямой. Или, наоборот, по известному уравнению анализируют геометрические свойства прямой.
Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач