Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Контрольная работа №3

Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Теория поля.

Основные теоретические сведения

1. Частной производной первого порядка функции двух переменных   по аргументу  называется предел

.

Обозначение: , . Нахождение  сводится к дифференцированию функции одной переменной , полученной при фиксировании аргумента

2. Скалярным полем  называется скалярная функция точки  вместе с областью ее определения.

Скалярное поле  характеризуется градиентом

и производной по направлению :

,

где – координаты единичного вектора направления .

3. Вычисление двойного интеграла от функции , определенной в области , сводится к вычислению двукратного интеграла вида

, (1)

где область  определяется условиями ,  или вида

, (2)

если область  определяется условиями , .

Переход от равенства (1) к (2) или обратно называется изменением порядка интегрирования.

4. Векторным полем  называется векторная функция точки :

.

Векторное поле  характеризуется скалярной величиной – дивергенцией:

и векторной величиной – ротором:

.

Векторное поле  называется соленоидальным, если в каждой точке этой области .

Векторное поле  называется потенциальным в области , если в каждой этой области .

Для потенциального векторного поля  справедлива формула для нахождения потенциальной функции

,

где – фиксированная точка области , – любая точка области – произвольная постоянная.

Потоком  векторного поля  через двустороннюю поверхность  называется поверхностный интеграл

, (3)

где – единичный вектор нормали вдоль ,  . Если поверхность  задается уравнением , то

,

причем знак в правой части берется так, чтобы получить нормальный вектор  к выбранной стороне поверхности.

Для вычисления интеграла (3) удобно проектировать поверхность   на одну из координатных плоскостей. Пусть, например,  взаимно однозначно проектируется на , тогда

.

Если  взаимно однозначно проектируется на  или , то

или .

Иногда вычисление потока проводят методом проектирования  на все три координатные плоскости :

,

каждое слагаемое вычисляется отдельно посредством проектирования   на соответствующую координатную плоскость.

Формула Остроградского устанавливает связь между потоком векторного поля  через замкнутую поверхность  и дивергенцию поля :

.

5. Циркуляция векторного поля  по замкнутой кривой  называется криволинейный интеграл

,

где .

6. Формула Стокса устанавливает связь между циркуляцией векторного поля  и его ротором:

,

где – поверхность, ограниченная замкнутым контуром , – единичный вектор нормали к этой поверхности. Направление нормали должно быть согласно с направлением обхода контура .

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции   в треугольнике, ограниченном прямыми , , .

Решение. Найдем стационарные точки, лежащие внутри данного треугольника:

Приравнивая частные производные нулю, можно на  и  сократить, так как внутри треугольника , тогда

.

Решение этой системы: . Стационарная точка  лежит внутри треугольника, . На сторонах треугольника и  значение функции z равно нулю. Найдем наибольшее и наименьшее значения на стороне . На ней  и

.

Стационарные точки находим из уравнения .

.

(т.к. х = 0 – граничная точка).

.

На концах интервала .

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции z в данном треугольнике надо искать среди следующих ее значений:

 в точке на стороне  в точке (4, 2).

Сравнивая полученные значения видно, что наибольшее значение   функция принимает внутри треугольника в точке ; наименьшее значение z = - 128 – границе, в точке (4, 2).

Примеры решения типовых задач: прямая на плоскости

Задача 2.1

Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (-2,3).

Решение: Обозначим точки соответственно  и ; согласно формуле ( 2.5 ) имеем: . Избавимся от дроби: . Раскрыв скобки и перенеся все члены в одну сторону, получаем: . Ответ: .

Задача 2.2

Составить уравнение прямой, проходящей через точку  параллельно прямой .

Решение: Так как искомая прямая по условию задачи должна быть параллельной исходной, это значит, что они имеют один угол наклона к оси . Угол наклона исходной прямой можно определить из формулы ( 2.6 ): . Исходная прямая задана в общей форме, следовательно для нее ; ; подставляя значения коэффициентов исходной прямой, находим . Обозначим координаты точки  как , имеем , ; прямую, проходящую через эту точку, можно описать уравнением с угловым коэффициентом ( 2.7 ); подставим в него известные значения, получим: . Проведя несложные преобразования, получим искомое уравнение: .

Замечание: можно было провести и другие рассуждения:

Прямые должны быть параллельны, это значит, первые два коэффициента в уравнении у них должны быть одинаковы ( – имеет одно значение), следовательно, нужно найти только значение свободного члена ; по определению , где  – известны из исходного уравнения: ; , а  – координаты начального радиус-вектора.

Нормаль у параллельных прямых – общая, значит, начальный радиус-вектор можно провести через заданную точку : ; подставив ее координаты в выражение для , получаем: .

Подставляем в искомое уравнение, получаем искомое уравнение.

Ответ: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач