Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Пример 2. Найти величину и направление наибольшего изменения функции   в точке .

Решение. Находим частные производные функции U(M) в любой точке M(x, y, z) и в точке M0:

.

Тогда в точке  имеем . Наибольшая скорость изменения поля в точке M0 достигается в направлении  :

.

Пример 3. Вычислим работу силы  вдоль отрезка прямой АВ, если А(1, 1, 1) и В(2, 3, 4).

Решение. Запишем параметрические уравнения прямой АВ:

.

Тогда работа А силы  на пути АВ вычисляется по формуле

.

Пример 4. Вычислить циркуляцию векторного поля

 по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости  с координатными плоскостями при положительном направлении обхода относительно нормального вектора  этой плоскости двумя способами: 1) используя определение циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса.

Решение. В результате пересечения плоскости (р) с координатными плоскостями получим треугольник АВС и укажем на нем положительное направление обхода контура АВСА.

1. Вычислим циркуляцию С данного поля по формуле:

.

На отрезке АВ имеем:

.

,

На отрезке ВС: ,

,

На отрезке СА: ,

,

Следовательно, .

2. Вычислим циркуляцию данного поля с помощью формулы Стокса.

Для этого вычислим:

.

В качестве поверхности S в формуле Стокса возьмем боковую поверхность пирамиды ОАВС:

.

По формуле Стокса имеем:

,

где .

Следовательно,

.

Задача 2.3

Составить уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно прямой .

Решение: Искомая прямая является нормалью к заданной прямой, поэтому для решения можно использовать уравнение в канонической форме (формула ( 2.4 )). В формуле:  – координаты направляющего вектора исходной прямой, в нашем случае они совпадают по значению с коэффициентами  из исходного уравнения:  ; .  – координаты заданной точки, то есть ; . Подставляя значения в формулу ( 2.4 ), получаем: . Решая данное уравнение, получаем ответ. Ответ: .

Задача 2.4

Две стороны квадрата лежат на прямых  и . Вычислить его площадь.

Решение: Из заданных уравнений прямых следует, что они параллельны (коэффициенты  и  – одинаковы). Для нахождения длины стороны квадрата нужно найти расстояние от одной прямой до другой. Это можно сделать, взяв точку на одной прямой и определить расстояние от нее до другой прямой. Возьмем первую прямую: , пусть , подставив это значение в уравнение, получим уравнение относительно , откуда найдем . Таким образом, получим точку, принадлежащую первой прямой: .

Расстояние от точки с известными координатами до прямой определяем с помощью формулы ( 2.11 ): .

Теперь определяем площадь: . Ответ: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач