Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Контрольная работа №4

Дифференциальные уравнения. Ряды.

Теория вероятностей и математическая статистика

Основные теоретические сведения

1. Уравнение вида  называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Его общим интегралом будет

.

2. Дифференциальное уравнение  называется однородным относительно переменных  и , если – однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов, т.е. . данное уравнение с помощью замены  сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

3. Уравнение  называется линейным дифференциальным уравнением. Общее решение уравнения находим по формуле

.

4. Уравнение вида

, (1)

где  и – постоянные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Квадратное уравнение   называется характеристическим уравнением.

Если корни ,  характеристического уравнения действительны и различны, то общий интеграл уравнения (1) выражается формулой

.

Если , то общий интеграл уравнения (1) находится по формуле

.

Если , то общее решение уравнения (1) находится по формуле

.

5. Уравнение вида

, (2)

называется неоднородным линейным уравнением второго порядка. Если   – общее решение соответствующего однородного уравнения,  – частное решение уравнения (2), то общее решение уравнения (2) имеет вид .

Укажем правило нахождения частного решения  уравнения (2) методом неопределенных коэффициентов.

Пусть , тогда:

1) , если  не является корнем характеристического уравнения;

2) , если   является простым корнем характеристического уравнения;

3) , если  является двукратным корнем характеристического уравнения.

Пусть , тогда:

1) , если число  не является корнем характеристического уравнения;

2) , если число  не является корнем характеристического уравнения.

6. Ряд вида

(3)

называется степенным рядом,  – коэффициенты ряда. Число  называется радиусом сходимости ряда, если ряд (3) сходится при  и расходится при .

При   ряд может как сходиться, так и расходиться. Интервал  называется интервалом сходимости ряда. Радиус сходимости  находится по формуле

.

7. Рядом Фурье периодической функции , , называется ряд вида

.

Коэффициенты Фурье  вычисляем по формулам ,

, .

Пример 1. Найти решение системы дифференциальных уравнений методом характеристического уравнения.

Решение. Частное решение системы будем находить в следующем виде . Требуется определить постоянные К1, К2 и λ так, чтобы функции x(t), y(t) удовлетворяли заданной системе уравнений. Подставляя их в систему и сокращая на , получим систему уравнений:

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

,  – корни характеристического уравнения.

Корню  соответствует система

или .

Полагаем , тогда . Получаем решение системы:

.

Корню  соответствует система

или .

Получаем , тогда . Получим решение системы:

.

Общее решение исходной системы имеет вид

Задача 2.5

По известным координатам вершин треугольника , ,  записать для его сторон уравнения в общем виде и уравнение в общем виде биссектрисы угла .

Решение: Так как нам известны координаты вершин, то проще всего получить уравнение стороны в канонической форме – формула ( 2.4 ), от которого легко перейти к уравнению в общей форме. Для канонического уравнения нам нужны координаты точки, принадлежащей стороне и координаты направляющего вектора (параллельного рассматриваемому).

Найдем уравнение стороны . В качестве точки прямой можно взять точку  с заданными координатами, а в качестве направляющего вектора – вектор . Найдем координаты вектора :

Тогда каноническое уравнение стороны  запишется как: , или .

Аналогично можно получить уравнения остальных сторон треугольника: для стороны : координаты вектора  .

Откуда каноническое уравнение: . Следовательно, общее уравнение: .

Для стороны : координаты направляющего вектора .

Каноническое уравнение: , или .

Выведем общее уравнение для биссектрисы. Известно, что биссектриса делит угол пополам. Если на сторонах  и  треугольника отложить орты (соответственно  и ) и построить на них ромб, то диагональ ромба также поделит угол пополам (по своему свойству) и, значит, ее можно будет взять направляющей биссектрисы. Вектор, построенный на диагонали ромба, равен сумме векторов  и ).

Для нахождения орта  необходимо знать координаты вектора :

, откуда  и, соответственно  определится как:

 (Рис. 2.5).

Рис. 2.5. Иллюстрация решения задачи 2.5

 

Аналогично определим орт :

;

. Теперь определим их сумму:

.

Тогда каноническое уравнение биссектрисы:

.

Ответ: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач