Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

Разберите решение задачи 4 данного пособия.

Задача 4. Даны координаты трех точек: А(3; 0; −5), В (6; 2; 1), С (12; −12; 3).

Требуется: 1) записать векторы  и  в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами  и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .

Решение. 1. Если даны точки М1(х1; у1; z1) b V2 (х2; у2; z2), то вектор   через орты , ,  выражается следующим образом:

= (х2 – х1) +(у2 – у1) +(z2 – z1) = aх+ах+ах. (1)

Подставляя в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

=(6–3) +(2–0) +(1+5)=3+2+6.

Подобным образом =(12–3) +(−12–0) +(3+5) =9−12+8.

Модуль вектора  вычисляется по формуле

  =. (2)

Подставляя в формулу (2) найденные раннее координаты векторов  и , находим их модули:

==7, ==17.

2. Косинус угла α, образованного векторами ·, равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

 cos α =  (3)

Так как скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме попарных произведений одноименных координат, то ·=3·9+2·(−12)+6·8=51.

Применяя (3), имеем:

сos α =cos  =  α ≈ 64º37'.

3. Известно, что уравнение искомая плоскость проходит через точку М0(х0;у0;z0) перпендикулярно вектору n, имеет вид

 А( х–х0)+В(у–у0)+С(z–z0)=0. (4)

По условию задачи искомая плоскость проходит через точку С (12;−12;3) перпендикулярно вектору . Подставляя в (4) А=3, В=2, С=6, х0=12, у0=−12, z0=3, получим:

 3(х−12)+2(у+12)+6(z–3)=0,

3х+2у+6z−30=0 – искомое уравнение плоскости.

Вопросы для самопроверки

Какие величины называются скалярными? векторными?

Какие векторы называются коллинеарными?

Какие два вектора называются равными?

Как сложить два вектора? Как их вычесть?

Как найти координаты вектора по координатам точек его начала и конца?

Назовите правила сложения, вычитания векторов, заданных в координатной форме. Как умножить вектор на скаляр?

Дайте определение скалярного произведения двух векторов. Перечислите основные свойства скалярного произведения.

Как найти скалярное произведение двух векторов по их координатам?

Напишите формулу для определения угла между двумя векторами.

 Напишите условия: коллинеарности двух векторов; их перпендикулярности.

 Напишите общее уравнение плоскости.

 Напишите уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

  Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через три данные точки?

 напишите формулу для определения расстояния от точки до плоскости.

Умножение вектора на число (скаляр). Произведением вектора  на скаляр является  вектор , удовлетворяющий условиям:

1) вектор  коллинеарен вектору ;

2) имеет длину ;

3) сонаправленный  при  и антинаправленный при .

Свойства операции умножения вектора на скаляр:

1) ненулевые векторы  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число  такое, что ;

2) умножение вектора на скаляр ассоциативно относительно умножения скаляров: ;

3) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения чисел: ;

4) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов: ;

5) , .

Из свойств произведения скаляра на вектор следует, в частности, что при умножении нуля на вектор получается нулевой вектор .

Свойства операций над векторами позволяют обращаться с ними, как с обычными числами: переносить их из одной части равенства в другую с противоположным знаком, делить обе части на ненулевое число, приводить подобные члены и т.п.


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач