Дешевыйлинолеум встречается все чаще.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле:

.

Так как

,

то

.

Степенной ряд сходится абсолютно в интервале .

Исследуем поведение ряда на концах интервала.

При  имеем , данный ряд расходится.

При  имеем , ряд сходится по признаку Лейбница, причем сходится условно. Следовательно, область сходимости

ряда является полуинтервал .

Пример 3. Вычислить  с точностью до .

Решение. Разложение подынтегральной функции в степенной ряд имеет вид:

.

Интегрируя этот ряд почленно, получим

Полученный числовой ряд есть ряд Лейбница. Погрешность происходящая от отбрасывания всех членов начиная с третьего, будет по абсолютной величине меньше третьего члена:

.

Вычисляя с точностью до 0,0001, найдем

.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на интервале – периоде.

Решение. Функция f(x) удовлетворяет условию Дирихле, поэтому раскладывается в ряд Фурье.

.

Вычисляя коэффициенты Фурье функции f(x):

,

,

так как

,

.

.

Уравнение плоскости

Пусть в декартовой системе координат имеется некоторая плоскость, проходящая через точку , ее радиус-вектор будет иметь координаты . Зададим на этой же плоскости точку  с радиус-вектором . Очевидно, что вектор  также будет находиться в заданной плоскости (Рис. 2.6).

Рис. 2.6. Вектор  на плоскости

 

Проведем перпендикуляр к плоскости . Скалярное произведение вектора  с эти перпендикуляром будет равно 0: , или, в координатах:

.

( 2.1 )

Преобразуем данное уравнение: раскроем скобки и сгруппируем известные координаты: , обозначив , получим уравнение плоскости в общей форме:

,

( 2.2 )

где  – координаты любой точки на плоскости;  – координаты фиксированной точки на плоскости;  – координаты нормали к плоскости. Если все коэффициенты общего уравнения не равны нулю, то уравнение ( 2.2 ) можно привести к виду:

.

( 2.3 )

Уравнение плоскости в данном виде называется уравнением плоскости в отрезках; в уравнении приняты обозначения: , , ; отрезки  отсекаются плоскостью на осях координат.

Итак, плоскость в пространстве, как и прямая на плоскости, задается уравнением первой степени относительно координат. Поэтому говорят, что плоскость есть поверхность первого порядка.

Расстояние от точки  до поверхности, заданной формулой ( 2.3 ) определяется по формуле:

,

( 2.4 )

Двугранный угол между плоскостями  и  совпадает с углом между их нормалями и вычисляется по формуле:

,

( 2.5 )

Для ортогональных плоскостей будет справедливо утверждение:  или в координатной форме: .

Для параллельных плоскостей выполняется условие пропорциональности координат нормалей: . В частности, если, кроме того, выполняется условие  , то плоскости совпадают.


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач