популярность генеалогии рода набирает обороты
Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Решение типового варианта контрольной работы.

Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

Решение.

В данном случае  

Вычислим

Следовательно, ряд расходится.

Поскольку в записи общего члена ряда есть показательная функция , то используем признак Даламбера.

Для рассматриваемого ряда

;

Вычислим

Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.

Так как в записи общего члена ряда есть факториал (), то используем признак Даламбера. Для исследуемого ряда

Вычислим

В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.

Воспользуемся радикальным признаком Коши. Здесь  

Вычислим

Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.

Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его

Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.

Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:

Полученный ряд эквивалентен исходному, так как

Таким образом, исходный ряд и ряд  сходятся и расходятся одновременно. Т.к. ряд   сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.

Так как , то

.

Ряд  расходится , следовательно, исходный ряд также расходится.

Оценим общий член ряда:

.

Ряд

Ряд  сходится , следовательно, эквивалентный ряд   также сходится. Т.к. из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.

Рассмотрим частные случаи расположения плоскости в декартовой системе координат.

1. : нормаль к плоскости параллельна оси . Поскольку  для нормали  имеем  и уравнение ( 2.5 ) принимает вид: . В этом случае плоскость параллельна координатной оси .

2. : проводя аналогичные рассуждения, получаем: , плоскость параллельная оси .

3. : , плоскость параллельная оси .

4. : вектор нормали лежит в плоскости , следовательно, плоскость параллельна оси . В этом случае , так как .

5. ,  параллельна оси .

6. ,  параллельна оси .

7. : это возможно лишь в случае, когда плоскость проходит через начало координат. При этом  и плоскость задается уравнением , которому удовлетворяет точка .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач