Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Пример2. Найти область сходимости ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:

Ряд сходится, если

 или ;

 или ,

.

Ряд расходится, если .

Неопределенный случай:  т.е.  или ,

Пусть :   ‑ сходится.

Ряд  сходится как эквивалентный сходящемуся ряду.

Пусть : .

Этот ряд – знакочередующийся. Исследуя его на абсолютную сходимость (рассматриваем ряд, состоящий из абсолютных величин), получим ряд как и при , а он сходится. Т.к. ряд, состоящий из абсолютных величин, сходится, то данный ряд сходится абсолютно.

Получили, что  ‑ область сходимости ряда.

Пример 3. Вычислить с точностью  интеграл .

Решение. Запишем разложение функции  в ряд Маклорена:

+...

Вычислим интеграл

.

Заметим, что при вычислении интеграла получаем знакочередующийся ряд. Мы отбрасываем при вычислении все слагаемые, начиная со слагаемого, меньшего по абсолютной величине заданной точности .

Примеры решения типовых задач: уравнение плоскости

Задача 2.6

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно плоскости .

Решение: 1) По условию, плоскость должна быть параллельна плоскости , а это значит, ее уравнение принимает вид: , где . 2) Нормаль этой плоскости должна быть , где , откуда , следовательно, общее уравнение принимает вид: , или  (по условию ). Ответ: .

Задача 2.7

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно плоскости .

Решение: 1) У параллельных плоскостей – общая нормаль, следовательно, для искомой плоскости нормаль . 2) По формуле ( 2.1 ) получаем: , или .

Ответ: .

Задача 2.8

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно векторам  и .

Решение: 1) Для решения необходимо знать координаты точки, принадлежащей искомой плоскости и нормаль к ней. Точка  – известна, осталось найти нормаль. 2) Так как по условию, искомая плоскость должна быть параллельна векторам, то ее нормаль должна быть к ним перпендикулярна:  и . 3) По свойству векторного произведения: если , то  и , значит в нашем случае, нормаль к исходным векторам есть их векторное произведение: , откуда координаты нормали: . 4) Подставляем найденные координаты и координаты фиксированной точки в уравнение ( 2.1 ), находим общее уравнение: . После преобразования получим Ответ: .

Задача

Найти точку пересечения плоскости  с прямой, заданной каноническими уравнениями:.

Решение: Можно было бы перейти от канонических уравнений к общему виду и свести задачу к рассмотренной в предыдущем примере. Но можно рассуждать и по-другому. Точка пересечения должна принадлежать и прямой и плоскости, то есть можно подставить выражения для  из канонического уравнения в уравнение плоскости и определить их.

Перейдем к параметрическим уравнениям прямой:

, откуда , , .

Подставим найденные выражения в уравнение плоскости:

, откуда .

Подставляем в выражения для , находим ответ: , , . Ответ: искомая точка .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач