Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .

Решение.

Для представления решения в виде ряда Маклорена необходимо найти первые три отличные от нуля значения . По условию задачи  Выразим из уравнения :

Найдем , продифференцировав обе части равенства  по :

Окончательно получим:

.

Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье

 в интервале (-2, 2):

 по синусам на интервале .

Решение.

Разложение периодической (период ) функции имеет вид:

а) В нашем примере l=2.

где  

Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.

;

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Вычислим значения интегралов-слагаемых по отдельности.

Аналогично предыдущему

и окончательно получим:

Подставляя полученные значения  в разложение , получим:

б) Продолжим функцию на отрезок  нечетным образом (рис. 1).

Рис. 1

Тогда получим нечетную функцию, ряд Фурье которой содержит только синусы, т.е. .

Найдем коэффициенты , используя формулу:

Для вычисления первого и третьего интегралов используем метод интегрирования по частям:

.

Таким образом, .

Задача 2.9

Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами , , .

Решение: 1) Проведем к точкам соответствующие радиус-векторы: ,  и . 2) Очевидно, что вектора  и  будут лежать в одной плоскости и задача сводится к задаче, приведенной в предыдущем примере. 3) Координаты векторов:

  

Найдем координаты нормали:

Подставляем найденные координаты и координаты фиксированной точки  в уравнение ( 2.1 ), находим общее уравнение:

. Ответ: .

Задача 2.10

Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки ,  перпендикулярно плоскости .

Решение: 1) Для определенности положим, что  – фиксированная точка, радиус-вектор которой ;  – точка, с помощью которой строим вектор , лежащий в искомой плоскости. Его координаты: . 2) Нормаль  плоскости  имеет координаты , что следует из вида общего уравнения плоскости ( 2.2 ). 3) Нормаль искомой плоскости перпендикулярна вектору  и нормали плоскости , то есть является их векторным произведением: . Откуда:

, или .

4) Подставим в общее уравнение плоскости ( 2.2 ) найденные значения координат нормали и фиксированной точки: .

Ответ:  .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач