Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Примеры решения типовых задач: кривые второго порядка

Задача 2.17

Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением .

 Решение: Приведем исходное уравнение к виду ( 2.2 ): выделим полные квадраты по  и , для этого разобьем свободный член на элементы:

, или

. Согласно уравнению ( 2.2 ) получаем Ответ: координаты центра , радиус=.

Задача 2.18

Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, описываемого уравнением .

Решение:

Приведем уравнение к виду ( 2.3 ): перепишем в виде:

, откуда , .

Определяем расстояние фокусов от центра:

, то есть , .

Эксцентриситет данного эллипса определяем по формуле:

. Ответ: , , .

Задача 2.19

Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках , , а длина ее действительной оси равна 1.

Решение:

Для записи уравнения гиперболы в виде ( 2.4 ) необходимо знать величины  и . Величина  по условию задачи (длина вещественной оси). Определим величину .

Из условия задачи можно определить величину . Это первая координата фокуса, то есть .

По формуле  определяем величину :

Подставляем в уравнение ( 2.4 ), получаем Ответ: .

Задача 2.20

Вывести каноническое уравнение параболы, если известно, что ее вершина расположена в начале координат, она расположена симметрично оси , и проходит через точку .

Решение:

По условию парабола симметрична оси  и вершина расположена в центре координат, следовательно, для нахождения параметра параболы можно воспользоваться каноническим уравнением ( 2.5 ).

Подставим в уравнение ( 2.5 ) координаты точки, через которую проходит парабола: , откуда .

Следовательно, уравнение параболы можно записать как . Ответ: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач