Контрольная работа
При выполнении контрольных заданий обязательно указывать название темы и номер задания, даже если задание не выполнено.
Вариант
Задание 1. Определить скалярное произведение 
векторов, если 
, 
, 
, 
, 
.
Задание 2. Вычислить 
, если 
, 
, , 
, 
.
Задание 3. Определить смешанное произведение 
, если 
, 
, 
.
Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки 
и 
.
Задание 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки 
,
перпендикулярно плоскости 
.
Задание 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами
, 
, 
.
Задание 7. Вывести каноническое уравнение параболы, если известно, что ее
вершина расположена в начале координат, она расположена симметрично оси 
,
и проходит через точку 
.
Пример выполнения контрольной работы
Задание 1. Определить скалярное произведение векторов, если 
, 
, 
, , .
Решение: Подставим в скалярное произведение выражения векторов через их
базисы: 
, по свойствам скалярного произведения, имеем:
. Ответ: 
.
Задание 2. Вычислить , если 
, 
, , , 
.
Решение: Исходные вектора заданы через аффинный базис, поэтому, запишем
их векторное произведение через соответствующие базисные вектора: 
{используя
свойства векторного произведения, имеем} 
. Ответ: 
.
Задание 3. Определить смешанное произведение , если 
, 
, 
.
Решение: Так как векторы заданы в декартовом базисе, то смешанное произведение находится по формуле:
.
Ответ: 
.
Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки 
и 
.
Решение: Обозначим точку с координатами как 
, а точку с координатами как 
, тогда каноническое уравнение прямой, проходящей через
данные точки запишется в виде: 
.
Преобразуем полученное уравнение: 
.
Ответ: 
.
Задание 5. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно оси 
и перпендикулярно
к плоскости 
.
Решение: Обозначим нормаль плоскости как 
, а нормаль искомой плоскости как 
. Так как искомая плоскость по условию
задачи перпендикулярна плоскости , то их нормали будут также перпендикулярны 
.
Возьмем на оси единичный вектор 
. По условию искомая плоскость параллельна оси ,
значит, ее нормаль и единичный вектор будут перпендикулярны 
.
По определению векторного произведения имеем:
, откуда 
.
Подставим в общее уравнение плоскости координаты ее точки и нормали, получаем:
или 
.
Ответ: .
Задание 6. Вывести общее уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно векторам 
и 
.
Решение: Пусть нормаль искомой плоскости есть 
. По условию задачи искомая плоскость
параллельна заданным векторам, следовательно, ее нормаль перпендикулярна к
ним: 
и 
, и откуда следует, что нормаль есть их векторное произведение:
, 
,
откуда координаты нормали: 
.
Подставим найденные координаты нормали и координаты фиксированной точки в общее уравнение плоскости, получим:
, или 
.
Ответ: .
Задание 7. Для гиперболы 
найти действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов
и эксцентриситет.
Решение: Приведем исходное уравнение к каноническому виду: 
или 
, откуда действительная полуось 
, мнимая полуось 
, эксцентриситет 
, координаты фокусов определяются
значением величины 
: 
и 
. Ответ: 
, , 
, , .