Контрольная работа
При выполнении контрольных заданий обязательно указывать название темы и номер задания, даже если задание не выполнено.
Вариант
Задание 1. Определить скалярное произведение
векторов, если
,
,
,
,
.
Задание 2. Вычислить
, если
,
,
,
,
.
Задание 3. Определить смешанное произведение
, если
,
,
.
Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки
и
.
Задание 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки
,
перпендикулярно плоскости
.
Задание 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами
,
,
.
Задание 7. Вывести каноническое уравнение параболы, если известно, что ее вершина расположена в начале координат, она расположена симметрично оси
, и проходит через точку
.
Пример выполнения контрольной работы
Задание 1. Определить скалярное произведение
векторов, если
,
,
,
,
.
Решение: Подставим в скалярное произведение выражения векторов через их базисы:
, по свойствам скалярного произведения, имеем:
. Ответ:
.
Задание 2. Вычислить
, если
,
,
,
,
.
Решение: Исходные вектора заданы через аффинный базис, поэтому, запишем их векторное произведение через соответствующие базисные вектора:
{используя свойства векторного произведения, имеем}
. Ответ:
.
Задание 3. Определить смешанное произведение
, если
,
,
.
Решение: Так как векторы заданы в декартовом базисе, то смешанное произведение находится по формуле:
.
Ответ:
.
Задание 4. Вывести общее уравнение прямой, проходящей через точки
и
.
Решение: Обозначим точку с координатами
как
, а точку с координатами
как
, тогда каноническое уравнение прямой, проходящей через данные точки запишется в виде:
.
Преобразуем полученное уравнение:
![]()
.
Ответ:
.
Задание 5. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно оси
и перпендикулярно к плоскости
.
Решение: Обозначим нормаль плоскости
как
, а нормаль искомой плоскости как
. Так как искомая плоскость по условию задачи перпендикулярна плоскости
, то их нормали будут также перпендикулярны
.
Возьмем на оси
единичный вектор
. По условию искомая плоскость параллельна оси
, значит, ее нормаль и единичный вектор будут перпендикулярны
.
По определению векторного произведения имеем:
, откуда
.
Подставим в общее уравнение плоскости координаты ее точки и нормали, получаем:
или
.
Ответ:
.
Задание 6. Вывести общее уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно векторам
и
.
Решение: Пусть нормаль искомой плоскости есть
. По условию задачи искомая плоскость параллельна заданным векторам, следовательно, ее нормаль перпендикулярна к ним:
и
, и откуда следует, что нормаль есть их векторное произведение:
,
, откуда координаты нормали:
. Подставим найденные координаты нормали и координаты фиксированной точки
в общее уравнение плоскости, получим:
, или
.
Ответ:
.
Задание 7. Для гиперболы
найти действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет.
Решение: Приведем исходное уравнение к каноническому виду:
или
, откуда действительная полуось
, мнимая полуось
, эксцентриситет
, координаты фокусов определяются значением величины
:
и
. Ответ:
,
,
,
,
.
Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач