Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Матрицы

Матрицей размера  называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из  строк и   столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называются ее элементами и нумеруются двумя индексами, обозначающими соответственно номер строки и номер столбца, в которых расположен этот элемент.

В общем виде матрица обозначается так:

 или ,

или кратко одной буквой , или , где первый индекс:  – индекс, обозначающий номер строки, второй индекс:  – номер столбца, в котором расположен элемент .

В частности, если матрица содержит одну строку и несколько столбцов   матрица называется матрицей-строкой (или вектор-строка): .

Если же матрица содержит несколько строк и один столбец , то матрица называется матрицей-столбцом (или вектором- столбцом):. Если , то матрицу называют квадратной порядка .

Определение 4.2. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность и числа, стоящие на соответствующих местах этих матриц, равны.

Определение 4.3. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается как .

Определение 4.4. Единичной называют матрицу, у которой по главной диагонали расположены единицы, а все остальные элементы равны нулю: .

Определение 4.5. Матрица , полученная из матрицы  заменой строк столбцами с теми же номерами и наоборот, называется транспонированной по отношению к матрице :

Если , то .

Определение 4.6. Треугольной называется матрица, у которой все элементы, расположенные ниже (или выше) элементов главной диагонали, равны нулю. Например,  и  – две треугольные матрицы:

, .

Определение 4.7. Диагональной называется матрица, у которой все элементы, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю:

.

Основные операции над матрицами

Определение 4.8. Суммой матриц  и  одинаковой размерности называется матрица  такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц  и :

.

( 4.1 )

Обозначают операцию сложения как

Пример 4.1. Найти сумму матриц  и , где , .

Решение:

Ответ:.

Определение 4.9. Результатом умножения матрицы  на число  является матрица  (такой же размерности, что и исходная), у которой элементы равны соответствующим элементам исходной матрицы, умноженным на это число:  или


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач