www.loreal-paris.ru набор кремов loreal 3в1 travel collection
Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Линейная алгебра

В данном разделе рассматриваются такие объекты, как матрицы и действия над ними, а также определители, которые затем используются для решения систем линейных уравнений.

 

Пример 4.2. Найти матрицу , где , .

Решение: .

Ответ: .

Определение 4.10. Разность матриц  и  определяется через введенные выше операции: .

Пример 4.3. Найти разность матриц :  и .

Решение: .

Ответ: .

Определение 4.11. Пусть даны две матрицы   и  , причем число столбцов матрицы  равно числу строк матрицы . Произведением  на  называется матрица, элементы которой находятся по формуле: , .

Пример 4.4. Найти произведение двух матриц:  и .

Решение:  .

Ответ: .

Правило умножения матриц иногда формулируют так: чтобы получить элемент, стоящий в -той строке и -том столбце матрицы равной произведению двух матриц, нужно элементы -той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы -того столбца второй матрицы и полученные произведения сложить. Отсюда становится понятно, что требование одинаковых размерностей по столбцам первой матрицы и строкам второй матрицы является важным условием для существования произведения этих матриц.

В частности, при умножении вектора-строки и вектора-столбца одинаковой размерности получится число (равное скалярному произведению векторов): . Наоборот, если перемножить вектор-столбец на вектор-строку получится квадратная матрица: .

 

Перечислим свойства операций над матрицами:

1)

2)

3)

4) Для матрицы :

5)

6)

7)

8) ;

9) ;

10)

11)

12)

13) ; .

14)

15)

16) Для любой квадратной матрицы .

Замечание. Относительно свойств 12) и 13) заметим, что если действия, указанные по одну сторону равенств, возможны, то возможны и действия, указанные по другую сторону равенства, и результаты в обеих частях одинаковы.

Определитель матрицы. Необходимость во введение понятия определителя связано с решением систем линейных уравнений. Обозначается определитель как , или , или .

Определение 4.12. Определителем матрицы первого порядка , или определителем первого порядка называется элемент : .

Определение 4.13. Определителем матрицы второго порядка  называется число, определяемое как разность между произведением элементов главной диагонали и произведением элементов побочной диагонали: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач