Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Пример. Вычислить определитель матрицы 2-го порядка: .

Решение: По формуле для вычисления определителя 2-го порядка имеем: .

Ответ: 16.

Определение 4.14. Определителем матрицы третьего порядка называется число, определяемое по формуле:

 .

В данное выражение входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Можно не запоминать данное выражение, так как в дальнейшем выведем более простое правило нахождения определителя любого порядка .

Определение 4.15. Минором произвольного элемента  матрицы называется определитель , который получается вычеркиванием -той строки и -того столбца, на пересечении которых расположен данный элемент.

Определение 4.16. Алгебраическим дополнением элемента  определителя матрицы называется его минор, взятый со знаком . Алгебраическое дополнение обозначается как , следовательно: .

Пример 4.6. Найти минор и алгебраическое дополнение элемента   определителя матрицы: .

Решение: 1) Элемент, для которого ищем минор и алгебраическое дополнение, находится на пересечении 2-ой строки и 3-го столбца: .

2) Для нахождения его минора вычеркнем эти строку и столбец из определителя матрицы и запишем оставшиеся элементы: . 3) Тогда алгебраическое дополнение элемента  определится как: .

Ответ: .

Вычисление определителя квадратной матрицы произвольного порядка осуществляется согласно следующей теореме.

Теорема 4.1 (теорема Лапласа). Определитель  матрицы  равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения: , где  - фиксировано. Данное выражение еще называют разложением определителя  по элементам строки с номером . Аналогично можно записать разложение определителя по элементам фиксированного столбца:

.

Пример 4.7. Вычислить определитель: .

Решение: Для вычисления разложим определитель по элементам первой строки: .

Ответ: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач