Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Элементы линейной алгебры

Разберите решение задачи 5 данного пособия.

Задача 5. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Решение. Обозначим через А–матрицу коэффициентов при неизвестных; Х–матрицу-столбец неизвестных Х1, Х2, Х3; Н – матрицу-столбец свободных членов:

А= Х=,  Н=,

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

 А·Х=Н (1)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель ∆ отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А-1, получим:

А-1·А·Х=А-1·Н.

 Но А-1·А=Е (Е – единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому

Х=А-1·Н. (2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу

А=  Тогда А-1=   , 

где Аij (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента аij в определителе матрицы А, которое является произведением (−1)i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель ∆ и алгебраические дополнения Аij элементов матрицы А.

∆=  = 100 – следовательно матрицы А имеет обратную матрицу А-1.

А11 =(−1)i+1.  A12 =(−1)1+2.

A13 =(−1)1+3.  A21 =(−1)2+1.

A22 =(−1)2+2.  A23 =(−1)2+3.  

A31 =(−1)3+1.  A32 =(−1)3+2.

A33 =(−1)3+3.

Тогда

А-1 =

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Х=А-1·Н=·

=

=

Отсюда х1=3, х2=0, х3=−2.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

2. Назовите основные свойства определителей.

3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?

4. Напишите формулу Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

5. Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

6. Что называется матрицей?

7. Как определяются основные действия над матрицами?

8. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?

9. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг матрицы?

10. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

11. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.

12. Какова геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и неравенств?

Пример 1.1:

Решить уравнение  относительно :

Решение: Переносим  в правую часть уравнения: ; делим правую и левую части на коэффициент при , равный 2. Получаем решение в виде: .

Ответ: .

 

Базис и разложение векторов

Определение 1.8. Линейной комбинацией векторов  называется вектор , а числа  - коэффициентами линейной комбинации.

Определение 1.9.  Совокупность векторов  называется линейно независимой, если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что ; если же для заданных векторов равенство выполняется только тогда, когда все  , то вектора  называют линейно зависимыми.

Теорема 1.1. Пусть даны два ненулевых и неколлениарных вектора  и . Тогда любой вектор  можно представить в виде:  и притом, единственным образом.

Такое представление вектора называют разложением вектора по базису, набор  – базисом, а коэффициенты при базисе:  – координатами разложения.

С базисом на плоскости можно связать систему координат. Для этого на плоскости зафиксируется начало координат – точку О и тогда каждой точке А на плоскости соответствует вектор , который называется радиус-вектором точки. Координаты радиуса-вектора при разложении по базису  называются координатами точки в построенной системе координат: .

Самая распространенная система координат образуется двумя взаимно перпендикулярными векторами , длина которых равна единице: . Такая система координат называется декартовой прямоугольной системой координат.

Обычно векторы декартового базиса обозначают как , а координаты вектора  относительно декартова базиса как .

В декартовой системе координат справедливо свойство: длина вектора  равна: .

Кроме декартовой системы координат существует полярная и криволинейная система координат.

В общем случае введенный в пространстве базис называют аффинным, и, соответственно, систему координат, состоящую из произвольной точки  и векторного аффинного базиса пространства называют аффинной системой координат этого пространства. Точка  - начало аффинной системы координат.


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач