Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Обратная матрица обладает свойствами:

Если обратная матрица существует, то она единственна.

Если матрица  является обратной для матрицы , то и матрица  является обратной для матрицы : .

Если у квадратных матриц  и  существуют обратные им матрицы, то и у их произведения также существует обратная матрица, для которой справедливо соотношение: .

Элементы обратной матрицы определяются следующим образом:

Находится определитель прямой матрицы .

Записывается транспонированная матрица .

Находятся алгебраические дополнения для каждого элемента транспонированной матрицы и записываются в транспонированную матрицу вместо ее элементов: .

Каждый элемент полученной матрицы делится на определитель прямой матрицы .

Пример 4.10. Найти матрицу обратную матрице .

Решение: 1) Находим определитель исходной матрицы: на первом шаге умножаем элементы третьего столбца на (-1) и складываем с элементами первого столбца, затем элементы третьего столбца умножаем на (-2) и складываем с элементами второго столбца, таким образом, получаем два нуля в первой строке и раскладываем определитель по первой строке:

.

2) Записываем транспонированную матрицу: .

3) Находим алгебраические дополнения к каждому элементу матрицы:

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Записываем вместо элементов матрицы их алгебраические дополнения:

Чтобы данная матрица стала обратной к исходной  нужно каждый элемент этой матрицы разделить на определитель исходной матрицы :

.

Докажем, что полученная матрица является обратной для исходной, то есть для этих матриц выполняется соотношение , для удобства вычислений запишем обратную матрицу как произведение вспомогательной матрицы на величину, обратную определителю матрицы : .

Ответ: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач