Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Задача 4.4. Вычислить обратную матрицу для .

Решение. 1) Вычислим определитель исходной матрицы, выполнив преобразования: умножим элементы первой строки на (-1) и сложим с элементами третьей строки. Затем разложим по элементам третьего столбца:

.

2) Транспонируем исходную матрицу .

3) Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента полученной матрицы:

; ; ; ; ; ;

; ; .

4) Запишем алгебраические дополнения в транспонированную матрицу вместо ее элементов. Разделив каждый элемент матрицы на определитель исходной, получим обратную:

.

Проверим выполнение условия :

. Ответ: .

Задача 4.5. Вычислить матрицу, обратную к матрице: .

Решение. Вычислим определитель матрицы: сложим элементы третьего столбца с элементами первого и разложим по элементам третьего столбца:

.

Определитель равен нулю, значит, матрица вырожденная и для нее обратной не существует.

Ответ: обратной матрицы не существует.

Задача 4.6. Вычислить ранг матрицы: .

Решение. Матрица имеет четыре столбца и три строки, поэтому ее ранг не может превышать: . Однако, она содержит нулевые столбцы: второй и четвертый, значит все ее подматрицы 3-го порядка также будут содержать нулевые столбцы, и их определитель будет равен нулю. Поэтому, отбросив все нулевые столбцы имеем: . Полученная матрица имеет три строки и два столбца, значит, . Обратим внимание на элементы столбцов: они пропорциональны, поэтому любые подматрицы 2-го порядка, выделяемые из данной, также будут иметь определители, равные нулю. Следовательно, данная матрица имеет ранг равный 1.

Ответ: .

Задача 4.7. Вычислить ранг матрицы: .

Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, ранг матрицы от этого не изменится:

Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы первого столбца, кроме   были равны нулю. Умножим все элементы первой строки на 2 и сложим с соответствующими элементами третьей строки. Затем сложим все элементы первой строки с соответствующими элементами третьей строки:

{Теперь добиваемся, чтобы все элементы второго столбца, кроме  и  были равны нулю. Умножаем все элементы второй строки на (-3) и складываем с соответствующими элементами третьей строки. Затем умножаем все элементы второй строки на (-3) и складываем с соответствующими элементами четвертой строки. Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей, то отбрасываем их} .

Последняя матрица содержит миноры второго порядка не равные нулю, например: , следовательно, .

Ответ: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач