Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Правило Крамера

Если , система  имеет единственное решение:

, , …, .

( 4.4 )

Если , а хотя бы один из определителей , где , не равен нулю, то система не имеет решений.

Если , то система имеет бесконечно много решений.

Для системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных, имеет место утверждение: такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ее главный определитель отличен от нуля.

Матричный метод

Пусть дано матричное уравнение: , где  и  - заданные матрицы, причем матрица  – невырожденная. Требуется найти матрицу .

Матричный метод решения состоит в следующем: так как матрица   – невырожденная, то существует обратная матрица . Если умножить слева обе части первого из рассматриваемых уравнений на : , так как , то

.

( 4.5 )

Аналогично, рассуждаем при поиске решения матричного уравнения вида

.

Умножаем справа обе части уравнения на матрицу , обратную к матрице , получаем формулу:

.

( 4.6 )

Метод Гаусса-Жордано

Данный метод еще называют методом исключения неизвестных. Суть его состоит в том, что исходную матрицу преобразуют по строкам так, чтобы обнулить коэффициенты при неизвестных, и привести матрицу к треугольному виду.

Пример 4.12. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера, матричным методом и методом Гаусса-Жордано:

.

Решение (правило Крамера). Согласно правилу Крамера нужно составить определители системы и соответствующие каждому неизвестному. И затем по формуле ( 4.4 ) найти решение.

Найдем определитель системы:

.

Найдем определители для каждого неизвестного, заменяя столбец коэффициентов при этом неизвестном, столбцом свободных членов:

;

.

.

Теперь по формуле ( 4.4 ) определим значения неизвестных:

; ; .

Ответ: ; ; .

Решение (матричным методом):

Введем обозначения:

; ; ,

тогда исходную систему можно переписать в виде: .

Решение такой системы определяется по формуле ( 4.5 ), в которую входит матрица обратная к исходной . Найдем ее:

определитель исходной матрицы мы уже находили, он равен: ;

транспонируем исходную матрицу: ;

для каждого элемента транспонированной матрицы нужно найти алгебраические дополнения:

; ; ; ; ; ; ; ; .

записать их в транспонированную матрицу вместо ее элементов и разделить каждый элемент на определитель исходной матрицы:

.

Подставляем в формулу ( 4.5 ):

.

Ответ: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач