Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Произвольная система линейных уравнений

Вернемся к произвольной системе линейных уравнений вида ( 4.1 ).

Утверждение 4.1. Совместная система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда  (числу неизвестных).

Утверждение 4.2. Система линейных уравнений неопределенна тогда и только тогда, когда .

Нахождение решения для таких систем можно описать следующим алгоритмом:

Находим ранги основной и расширенной матриц системы. Если они не равны, то по теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

Если ранги равны, то выделяем базисный минор. При этом, неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор, составят группу зависимых переменных, остальные – группу независимых (вообще говоря, выбор зависимых и независимых неизвестных может быть неоднозначным).

Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора (их можно получить из него).

Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, переносятся в правую часть (для матрицы – это означает изменение знака соответствующего коэффициента). В результате получится система из  уравнений, содержащая  неизвестных, причем ее определитель отличен от нуля.

Решая полученную систему одним из способов, предложенных выше, получаем общее решение системы, в котором зависимые неизвестные будут выражены через свободные.

Если известны некоторые значения свободных переменных, то, подставляя их в общее решение, можно получить одно из частных решений системы.

Пример 4.14. Исследовать совместность и найти общее решение и одно из частных решений системы линейных уравнений:

.

Решение. Выпишем основную и расширенную матрицы системы, пометив сверху столбцы соответствующими неизвестными. Если мы найдем ранг расширенной матрицы, то тем самым найдем и ранг основной матрицы. Переставим 4-ый столбец перед первым, при этом система уравнений не изменится.

.

Приведем матрицу к треугольному виду. Напомним, что преобразования можно осуществлять только со строками. Умножим первую строку на (-2) и сложим со второй строкой. Умножим первую строку на (-7) и сложим с третьей строкой, при этом первая остается без изменения:

{Вторая и третья строки – пропорциональны, следовательно, можно вычеркнуть, например, третью строку без изменения значения определителя матрицы} /

Найдем наивысший минор, принадлежащий и основной и расширенной матрице: . Возьмем данный минор как базисный. В него вошли коэффициенты при неизвестных  и  – следовательно, это зависимые переменные, а независимыми остались переменные  и . Отсюда можно записать общее решение системы, для чего нужно перенести коэффициенты при свободных переменных в правую часть системы:

;

Для вычисления частного решения зададим значения свободным переменным: ,  , откуда , .

Проверка: подставим найденное частное решение в исходную систему:

.

Ответ: общее решение системы: , одно из частных решений: , , , .

Системы линейных однородных уравнений

Определение 4.7. Система линейных уравнений вида:

,

( 4.7 )

называется однородной системой линейных уравнений, где .

Однородная система всегда имеет одно решение , которое называется тривиальным. Условия существования нетривиальных решений определяется следующими теоремами.

Теорема 4.2. Система однородных линейных уравнений имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа неизвестных.

Теорема 4.3. В случае  система ( 4.7 ) имеет нетривиальное решение только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Теорема 4.4. Любая линейная комбинация решений системы ( 4.7 ) также является решением этой системы.

Определение 4.8. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений, если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.

Теорема 4.5. Если ранг  матрицы системы ( 4.7 ) меньше числа неизвестных , то существует фундаментальная система решений, состоящая из  решений.

Пример 4.15. Найти общее решение и одну из фундаментальных систем решений для следующей системы однородных уравнений:

.

Решение: 1) Найдем ранг матрицы. Не забываем, что преобразования можно проводить только со строками: {Преобразуем матрицу: умножим первую строку на (-3) и сложим со второй строкой, затем умножим первую строку на (-4) и сложим с третьей строкой, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с четвертой строкой}

{Вторая и четвертая, а также вторая и четвертая строки пропорциональны. Следовательно, третью и четвертую строки можно удалить}, откуда .

2) За базисный минор возьмем определитель . Он имеет наивысший порядок и отличен от нуля. В базисный минор вошли коэффициенты при переменных  и , они составят группу зависимых переменных, следовательно,  и  составят группу свободных переменных.

3) Выразим зависимые переменные через свободные, таким образом, найдем общее решение системы: .

Во втором уравнении умножим все коэффициенты на (-1) и подставим значение  из второго уравнения в первое, получим выражения . 4) Найдем фундаментальную систему решений. Она состоит из  решений, которые должны быть линейно независимыми. Самый простой способ составить линейно независимые строки в матрице решения это следующий: свободным переменным придают значения из строк определителя -го порядка, отличного от нуля. Затем подставляют эти значения в выражения общего решения и определяют значения зависимых переменных. Простейшим определителем 2-го порядка, отличным от нуля является . Подставим первый набор значений свободных переменных в решение: , затем второй: . Откуда получаем фундаментальную систему решений: . Ответ: общее решение системы: ; фундаментальная система решений: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач