Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Введение в анализ

Разберите решение задач 6, 7, данного пособия.

Задача 6. Вычислить пределы:

а)  б)

в)   г)

Решение. а) Подстановка предельного значения аргумента х=−3 приводит к неопределенному выражению вида

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель (х+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х+3) отличен от нуля при х:

===

==;

б) При   выражение  дает неопределенность вида . Для ее устранения умножим и разделим это выражение на ():

=

в) Обозначим . Тогда  и  при . Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела  имеем:

·

=·1·1= ;

г) При   выражение является неопределенностью вида 1∞. Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при  величины и применим формулу второго замечательного предела:

.

Тогда имеем: 

 =

Пусть 2х+1= −4у. Тогда 4х+5=−8у+3 и у при . Переходя к переменной у, получим:

=

Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию у =

Решение. Данная функция является элементарной. Известно, что всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения. Данная функция определена на

Рис. 4

Интервалах (−∞; 1) и (1; ∞) и, следовательно, она непрерывна на этих интервалах. В точке х=1 функция имеет разрыв второго рода, поскольку в этой точке отсутствуют конечные односторонние пределы. График функции дан на рис. 4.

Вопросы для самопроверки

 1. Сформулируйте определение понятия функции.

 2. Что называется областью определения функции? Областью изменения функции?

 3. Перечислите основные элементарные функции. Назовите их основные свойства.

 4. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

  5. Что называется пределом числовой последовательности?

 6. Сформулируйте определение предела функции.

 7. Назовите основные свойства пределов функций.

  8. Какая функция называется бесконечно малой? бесконечно большой?

 9. Назовите свойства бесконечно малых функций.

10. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.

11. Какие логарифмы называются натуральными?

12. Дайте определение односторонних пределов функции в точке.

13. Какая функция называется непрерывной в точке? На интервале?

14. Какая точка называется точкой разрыва первого рода? второго рода?

15. Перечислите основные свойства непрерывных на отрезке функций.

Для любой системы координат (не только декартовой) справедливы следующие свойства:

1) линейные операции над векторами сводятся к таким же операциям над их соответствующими координатами;

2) координаты вектора равны разностям соответствующих координат его начала и конца;

3) векторы  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

Пример 1.2.

Даны два вектора  и . Доказать, что они могут быть базисом.

Решение:

По определению вектора могут быть базисом, если они ненулевые и неколлениарны, поэтому для доказательства нужно проверить выполнение 3 свойства – соотношение координат векторов не должно быть равным.

 равенство неверно, значит, вектора и  неколлениарны.

Ответ: вектора  и  являются базисом.

Пример 1.3.

Разложить по базису  и  вектор .

Решение: Обозначим координаты вектора  как ; тогда разложение вектора  по базису  и  можно записать по формуле: . Согласно свойству 1, операции над векторами можно заменить операциями над их координатами; подставим координаты в уравнение, получаем следующую систему: . Решив эту систему, получаем

Ответ: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач