Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

 Контрольная работа

Вариант 2.1

Задание 1. Выполнить действия с матрицами: .

Задание 2. Вычислить определитель матрицы: .

Задание 3. Определить, имеет ли матрица  обратную, и, если имеет вычислить ее: .

Задание 4. Вычислить ранг матрицы .

Задание 5. Решить систему уравнений методом Крамера:

.

Задание 6. Найти общее и одно из частных решений системы линейных уравнений: .

Задание 7. Найти общее решение и фундаментальную систему решений:

.

 

 

Пример выполнения контрольной работы 1 (часть 2)

Задание 1. Выполнить действия с матрицами: .

Решение. По правилу умножения матриц:

. Ответ: .

Задание 2. Вычислить определитель матрицы: .

Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в первой строке все элементы стали нулевыми, за исключением элемента, расположенного в первом столбце. Для этого умножим все элементы первого столбца на (-2) и сложим с соответствующими элементами второго столбца:

{Теперь умножим все элементы первого столбца на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьего столбца}{Разложим определитель по элементам первой строки}{Полученный определитель 3-го порядка преобразуем так, чтобы во второй строке все элементы стали нулевыми, за исключением элемента в первом столбце. Для этого умножим все элементы первого столбца на (-3) и сложим с соответствующими элементами второго столбца}{Теперь умножим все элементы первого столбца на 2 и сложим с соответствующими элементами третьего столбца}{Разложим определитель по элементам второй строки}.

Ответ: .

Задание 3. Определить, имеет ли матрица  обратную, и, если имеет вычислить ее: .

Решение. Вычислим определитель матрицы. Преобразуем его так, чтобы в третьей строке все элементы, кроме, расположенного в первом столбце, стали нулевыми. Умножим все элементы первого столбца на (-5) и сложим с соответствующими элементами второго столбца:

{Умножим все элементы первого столбца на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьего столбца}{Разложим определитель по элементам третьей строки}. Итак, , матрица – невырожденная и у нее существует обратная.

Транспонируем исходную матрицу: .

Для каждого элемента транспонированной матрицы найдем алгебраическое дополнение:

; ; ; ; ; ; ; ; .

Подставляем в транспонированную матрицу вместо элементов их алгебраические дополнения и делим каждый элемент на определитель исходной матрицы, получаем матрицу, обратную к исходной:

.

Проверяем выполнение условия: :

. Ответ: .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач