Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Пример 1. Дана система линейных алгебраических уравнений:

Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы. Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли.

Решение. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

Для этого умножим первую строку матрицы В на –2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на –3 и сложим с третьей, получим

 ~  ~ .

Следовательно, rang A = rang B< = <3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение.

а)< Находим решение системы по формулам Крамера

где

 

 

 

 

б) Метод Гаусса. Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Элементы первой строки умножим на –2 и прибавим к соответствующим элементам 2-ой строки, затем элементы первой строки умножим на –3 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.

 ~  ~

Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:

Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:

в) Матричный метод. Так как det A< = -16 ¹<0, то матрица А невырожденная, существует обратная матрица А-1, определяемая по формуле:

  являются алгебраическими дополнениями соответствующих элементов матрицы А.

Введем в рассмотрение матрицы столбцы для неизвестных и свободных членов:

Тогда данную систему можно записать в матричной форме:, отсюда находим  - решение системы в матричной форме.

 

<

<

<

<

<

<

<

<

<

 


Решение системы:

 


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач