Пример 1. Дана система линейных алгебраических уравнений:
Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы. Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли.
Решение. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
Для этого умножим первую строку матрицы В на –2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на –3 и сложим с третьей, получим
~ 
~ 
.
Следовательно, rang A = rang B< = <3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение.
а)< Находим решение системы по формулам Крамера
где
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
б) Метод Гаусса. Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Элементы первой строки умножим на –2 и прибавим к соответствующим элементам 2-ой строки, затем элементы первой строки умножим на –3 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.
~ 
~ 
Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:
Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:
в) Матричный метод. Так как det A< = -16 ¹<0, то матрица А невырожденная, существует обратная матрица А-1, определяемая по формуле:
являются алгебраическими дополнениями соответствующих
элементов матрицы А.
Введем в рассмотрение матрицы столбцы для неизвестных и свободных членов:
Тогда
данную систему можно записать в матричной форме:
, отсюда находим 
- решение системы в матричной форме.
|
< |
< |
|
< |
< |
|
< |
< |
|
< |
< |
|
< |
< |
Решение системы:
