Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Пример 2. Составить канонические уравнения: а) эллипса, большая ось которого равна 5, а фокус находится в точке F(3,0); б) гиперболы с мнимой осью в=3 и ; в) параболы, имеющей директрису x=-3.

а)< Каноническое уравнение эллипса имеет вид . По условию задачи большая полуось а=5, с=3. Для эллипса выполняется равенство . Подставив значения а и с, найдем в2=16. Искомое уравнение эллипса:

.

б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . По условию задачи мнимая полуось в=3, эксцентриситет . Для гиперболы справедливо равенство  и учитывая, что , находим а2 = 16. Искомое уравнение гиперболы:

.

в) Каноническое уравнение параболы в данном случае имеет вид y2=2px, а уравнение ее директрисы . По условию x=-3, следовательно, , уравнение параболы имеет вид .

 

Пример 3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD<: A(2,1,0),  B<(3,-1,2),  C<(13,3,10),  D(0,1,4). Найти: 1) угол между ребрами AB< и AD; 2) уравнение плоскости АВС; 3) угол между ребром AD и гранью АВС; 4) площадь грани АВС; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины AD< на грань АВС.

1) Угол между ребрами AB< и AD< вычисляем по формуле:

,

.

;

.

2) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки имеет вид:

.

Подставляя в данное уравнение координаты точек А,В и С, получим:

Разложив определитель по элементам первой строки, получим:

,

АВС:

.

3) Угол между ребром AD< и гранью АВС вычисляем по формуле:

,

 - направляющий вектор ребра AD,  - нормальный вектор грани АВС.

.

4) Площадь грани АВС вычисляется по формуле:

.

.

.

.

Окончательно имеем

5) Объем пирамиды вычисляем по формуле:

.

.

6) Уравнение высоты DM<, опущенной из вершины D на грань АВС составляет по формуле

,

x0<,  y0<,  z0<) – координаты точки D<,  - координаты направляющего вектора прямой DM<. Т.к. DM ^ АВС<, то в качестве направляющего вектора  можно взять нормальный вектор . Уравнение прямой Dm запишется в виде:

.


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач