Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

 

Контрольная работа №3

Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Теория поля.

 

Основные теоретические сведения

 

1. Частной производной первого порядка функции двух переменных  по аргументу  называется предел

.

, . Нахождение  сводится к дифференцированию функции одной переменной , полученной при фиксировании аргумента

 

2. Скалярным полем  называется скалярная функция точки  вместе с областью ее определения.

Скалярное поле  характеризуется градиентом

:

,

– координаты единичного вектора направления .

 

3. Вычисление двойного интеграла от функции , определенной в области , сводится к вычислению двукратного интеграла вида

, (1)

 определяется условиями ,  или вида

, (2)

 определяется условиями , .

изменением порядка интегрирования.

 

4. Векторным полем  называется векторная функция точки :

.

 характеризуется скалярной величиной – дивергенцией:

ротором:

.

Векторное поле  называется соленоидальным, если в каждой точке этой области .

Векторное поле  называется потенциальным в области , если в каждой этой области .

Для потенциального векторного поля  справедлива формула для нахождения потенциальной функции

,

– фиксированная точка области , – любая точка области – произвольная постоянная.

Потоком  векторного поля  через двустороннюю поверхность  называется поверхностный интеграл

, (3)

– единичный вектор нормали вдоль ,  . Если поверхность  задается уравнением , то

,

 к выбранной стороне поверхности.

Для вычисления интеграла (3) удобно проектировать поверхность  на одну из координатных плоскостей. Пусть, например,  взаимно однозначно проектируется на , тогда

.

 взаимно однозначно проектируется на  или , то

 или .

 на все три координатные плоскости :

,

 на соответствующую координатную плоскость.

Формула Остроградского устанавливает связь между потоком векторного поля  через замкнутую поверхность  и дивергенцию поля :

.

5. Циркуляция векторного поля  по замкнутой кривой  называется криволинейный интеграл

,

.

 

6. Формула Стокса устанавливает связь между циркуляцией векторного поля  и его ротором:

,

– поверхность, ограниченная замкнутым контуром , – единичный вектор нормали к этой поверхности. Направление нормали должно быть согласно с направлением обхода контура .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач