Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2

Производная и дифференциал

Задача 8. Найдите производные функции:

а) у=ln ;

б) у= ;

в) .

Решение: а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

у' = ' = '=

=

=;

б) у'=

=4

=4

=;

в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной у' нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у':

 −sin

 −sin

 −y

Из последнего уравнения находим у':

2

Вопросы для самопроверки

 1. Что называется производной функции?

 2. Каков геометрический, физический смысл производной?

 3. Как взаимосвязаны непрерывность функции и ее дифференцируемость в точке?

 4. Напишите основные правила дифференцирования функций.

 5. Напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

 6. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

 7. Что называется дифференциалом функции?

 8. Каков геометрический смысл дифференциала функции.

 9. Перечислите основные свойства дифференциала функции.

10. Напишите формулу, позволяющую находить приближенное значение функции при помощи ее дифференциала.

11. Как найти производную второго, третьего, n-го порядков?

12. Как найти дифференциал второго порядка от данной функции?

Скалярное произведение векторов

Определение 1.10. Углом между двумя векторами называется часть плоскости между их лучами, если вектора приложить к одной точке (Рис. 1.5). Угол между векторами обозначается как  или строчными греческими буквами (например, ) .

Рис. 1.5. Угол между двумя векторами

 

Как известно из школьного курса, осью называется направленная прямая. Как правило, ось определяется единичным вектором, имеющим общее с ней направление и задающим положительную направленность оси. Чтобы получить проекцию точки, требуется опустить на ось перпендикуляр из этой точки.

Определение 1.11. Проекцией вектора  на ось (или вектор)  называется вектор, началом которого служит проекция начала вектора , а концом – проекция конца вектора  на ось (или вектор ) (Рис. 1.6).

Обозначается проекция как , на Рис. 1.6:  .

Рис. 1.6. Проекция вектора  на ось

 

Приведем свойства проекции:

1) , где ;

2) , где  и  - любые числа;

3) равные вектора имеют равные проекции.


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач