Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

 

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в треугольнике, ограниченном прямыми , , .

<Решение. Найдем стационарные точки, лежащие внутри данного треугольника:

Приравнивая частные производные нулю, можно на  и  сократить, так как внутри треугольника , тогда

.

Решение этой системы: . Стационарная точка  лежит внутри треугольника, . На сторонах треугольника и  значение функции z равно нулю. Найдем наибольшее и наименьшее значения на стороне . На ней  и

.

Стационарные точки находим из уравнения .

.

х = 0 – граничная точка).

.

На концах интервала .

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции z в данном треугольнике надо искать среди следующих ее значений:

 в точке на стороне  в точке (4, 2).

Сравнивая полученные значения видно, что наибольшее значение  функция принимает внутри треугольника в точке ; наименьшее значение z = - 128 – границе, в точке (4, 2).

 

Пример 2. Найти величину и направление наибольшего изменения функции  в точке .

Решение. Находим частные производные функции U<(M<) в любой точке M(x, y, z) и в точке M<0:

.

Тогда в точке  имеем . Наибольшая скорость изменения поля в точке M<0 достигается в направлении  :

.


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач