Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Контрольная работа №4

Дифференциальные уравнения. Ряды.

Теория вероятностей и математическая статистика

 

Основные теоретические сведения

 

1. Уравнение вида  называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Его общим интегралом будет

.

 

2. Дифференциальное уравнение  называется однородным относительно переменных  и , если – однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов, т.е. . данное уравнение с помощью замены  сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

 

3. Уравнение  называется линейным дифференциальным уравнением. Общее решение уравнения находим по формуле

.

 

4. Уравнение вида

, (1)

 и – постоянные числа называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Квадратное уравнение  называется характеристическим уравнением.

,  характеристического уравнения действительны и различны, то общий интеграл уравнения (1) выражается формулой

.

, то общий интеграл уравнения (1) находится по формуле

.

, то общее решение уравнения (1) находится по формуле

.

 

5. Уравнение вида

, (2)

неоднородным линейным уравнением второго порядка. Если  – общее решение соответствующего однородного уравнения,  – частное решение уравнения (2), то общее решение уравнения (2) имеет вид .

Укажем правило нахождения частного решения  уравнения (2) методом неопределенных коэффициентов.

Пусть , тогда:

, если  не является корнем характеристического уравнения;

, если  является простым корнем характеристического уравнения;

, если  является двукратным корнем характеристического уравнения.

Пусть , тогда:

, если число  не является корнем характеристического уравнения;

, если число  не является корнем характеристического уравнения.

6. Ряд вида

 (3)

степенным рядом,  – коэффициенты ряда. Число  называется радиусом сходимости ряда, если ряд (3) сходится при  и расходится при .

При  ряд может как сходиться, так и расходиться. Интервал  называется интервалом сходимости ряда. Радиус сходимости  находится по формуле

.

 

7. Рядом Фурье периодической функции , , называется ряд вида

.

Коэффициенты Фурье  вычисляем по формулам ,

.


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач