Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

Упражнение 1. Найти указанные пределы.

Решение:

1)   

2)     

При подстановке вместо переменно х ее предельного значения 3 получается неопределенность вида . Для избавления от этого типа неопределенности в этом случае представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой , где - корни квадратного трехчлена . У нас , т.к. дискриминант квадратного трехчлена , а следовательно,  .

Аналогично .

Теперь условие примера можно переписать а другом виде и продолжить решение:

.

3)    .

Здесь сталкиваемся с неопределенностью вида , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной: .

4)    .

В данном случае для освобождения от возникшей неопределенности вида будем использовать I замечательный предел и одно из его очевидных следствий:

.

Решение примера будет выглядеть следующим образом:

 

Упражнение 2. Найти производные, пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

Решение:

Кроме формул дифференцирования нужно использовать правила дифференцирования (суммы, разности, произведения, частного).

Необходима и теорема о производной сложной функции:

если задана сложная функция , где , то есть ; если каждая из функций  и  дифференцируема по своему аргументу, то

.

 

1)    , ,

.

2)    ,

3)   

4)   


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач