Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

Приложения производной

Задача 9. Исследовать функцию у= и построить ее график.

Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме:

1. Найдем область определения функции.

2. Исследуем функцию на непрерывность.

3. Установим, является ли данная функция четной, нечетной.

4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

6. Найдем асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему:

1. Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме х=1.

2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервалах (−∞; 1) и (1; ∞).

3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств = (тогда f(х) – четная функция) или   =  (для нечетной функции) для любых х и −х из области определения функции:

 ==−

Следовательно,  и , то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

у'=

у'=0 при  и у' − не существует при . Тем самым имеем две критические точки:    Но точка  не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 5): (−∞; 0), (0; 1), (1; ∞).

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале – положительная и данная функция возрастает. При переходе через точку  первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точку функция имеет минимум: уmin=y(0)=−1. Значит, А(0; −1) − точка минимума.

На рис. 5 знаками +, −указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелами – возрастание и убывание исследуемой функции.

5. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

у''=− 

 


Рис. 5

у''=0 при  и у''− не существует при . Разобьем числовую ось на три интеграла (рис. 6); (−∞; −), (−; 1), (1; ∞). На первом интервале вторая

производная у''=0 при  − абсцисса точки перегиба.

Следовательно, В - точка перегиба графика функции.

6.  − точка разрыва функции, причем .

Поэтому прямая  является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты  воспользуемся формулами:

 .

Тогда

,

.

Значит прямая у=0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.

Рис. 7

Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению их длин и косинуса угла между ними; обозначают скалярное произведение как : , где .

Следующие свойства скалярного произведения векторов вытекают прямо из определения:

1) ;

2) , где  - любое число;

3) ;

4) если , то , где  и  - любые числа;

5) тогда и только тогда, когда векторы  и  перпендикулярны или один из них равен нулю;

6) ;

7) для декартовой системы координат справедливо следующее свойство: если  и , то

.

Введем для определенности обозначения: пусть координаты векторов  и . С помощью скалярного произведения решаются следующие задачи:

1. определение длины вектора:

а) для декартового базиса: ;

б) для любого базиса: .

2. определение расстояния между точками  и :

 по вышеприведенным формулам (в зависимости от базиса).

3. определение проекции одного вектора на направление другого:

4. определение косинуса угла между векторами:

5. определение для декартового базиса косинусов углов, образуемых вектором с осями координат:

,

 где  – угол вектора с осью ,  – угол вектора с осью ,  – угол вектора с осью .


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач