Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычислить пределы Дифференциальные уравнения Кривые второго порядка Решение типового варианта контрольной работы Линейная алгебра Решение систем линейных уравнений Аналитическая геометрия

Математика Контрольная работа

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3

Дифференциальные уравнения

Разберите решение задач 12, 13 данного пособия.

Задача12. Решить уравнение у'−у tg x=−y2cos x.

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения (как и для линейного уравнения) искомую функцию у представим в виде произведения двух других функций: u=u(x) и υ=υ(х), то есть введем подстановку у= u·υ. Тогда у'=u'υ+uυ' и данное уравнение примет вид:

u'υ+uυ'− uυ tg x=− u2 υ2 cos x

или

 υ(u'−u tg x)+ uυ'=− u2 υ2 cos x (1) 

Выберем функцию u так, чтобы

 u'− u tg x=0 (2)

При подобном выборе функции u уравнение (1) примет вид

 uυ'==− u2 υ2 cos x или υ'=− u υ2 cos x  (3)

Решая (2) как уравнение с разделяющими переменными, имеем:

 tg x d x, ln u=−ln cos x, u=.

Здесь производная постоянная С=0. Подставляя найденное значение u в уравнение (3), имеем:

   .

Тогда

у= u·υ=− общее решение данного уравнения.

Задача 13. Найти частное решение уравнения у''+4у=4sin2x-8cos2x, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0, у'(0)=0.

Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения уодн однородного уравнения и какого-либо частного решения  данного уравнения, то есть

у = уодн+.

Для нахождения уодн составим характеристическое уравнение , имеющее комплексные корни и . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

 уодн=, (4)

где − комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4) , , имеем:

 уодн=

Для нахождения частного решения  неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция и числа  не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение =. Если же числа  являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение =.

Применяя эту теорему при ,, имеем:

=x(Acos2x+Bsin2x)

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим у'':

у''=(4В−4Ах) cos2x+(−4А−4Вх) sin2x.

Подставив в данное уравнение  и у'', получим:

4В cos2x−4А sin2x=4 sin2x−8 cos2x,

откуда А=−1, В=−2.

Следовательно, =−х(cos2x+2sin2x) и

у=−х(cos2x+2sin2x).

Найдем у':

у'=−2С1 sin2x+2С2 cos2x- cos2x-2sin2x-

-х(−2sin2x+4 cos2x).

Используя начальные условия, получим систему

Следовательно, у= есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что называется общим решением дифференциального уравнения? частным решением?

3. Каков геометрический смысл частного решения дифференциального уравнения первого порядка?

 4. Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

5. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? уравнением Бернулли? Укажите способ их решения.

6. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка?

7. Какое уравнение называется характеристическим для однородного дифференциального уравнения второго порядка?

8. Какой вид имеет общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения?

9. Как найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? показательная функция? тригонометрическая функция?

10. Какой вид имеет частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? показательная функция? тригонометрическая функция?

Определители 2-го и 3-го порядка

Определение 1.13  Таблица, составленная из четырех элементов, выстроенных в два ряда и два столбца: , называется квадратной матрицей второго порядка.

Пара элементов матрицы  и  образуют первую строку матрицы , соответственно, пара  и  – вторую строку. Пара элементов  и  образуют первый столбец, пара  и  - второй столбец матрицы . Число строк и столбцов матрицы называется ее порядком.

Определение 1.14. Матрицей третьего порядка называется таблица, составленная из девяти элементов : . Элементы  образуют главную диагональ матрицы, элементы  - побочную диагональ матрицы.

Определение 1.15.  Определителем матрицы второго порядка называется число: , определяемое как разность между результатом умножения элементов главной диагонали и результатом умножения элементов побочной диагонали: .

Определение 1.16. Определителем матрицы третьего порядка называется число, определяемое по формуле:

.

Это выражение называется разложением определителя по элементам первой строки.

Можно сосчитать определители второго порядка, и тогда формула примет вид:

.


Алгебра и аналитическая геометрия Примеры решения типовых задач