Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Ручные вычисления по методу Гаусса

Вычислительная математика

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Постановка задачи и этапы решения.

При решении алгебраических и трансцендентных уравнений, встречающихся на практике, очень редко удается найти точное решение. Поэтому приходится применять различные приближенные способы определения корней. В общей постановке задачи обычно требуют непрерывность функции f(x), корни которой ищутся с заданной точностью. Решение при этом разбивается на два этапа:

1.Локализация корней, т.е. выделение непересекающихся отрезков, каждый из которых содержит по одному корню.

2.Уточнение корней, т.е. вычисление корня на каждом из отрезков с нужной точностью.

Первая часть задачи обычно решается либо с использованием примерного графика функции, либо с помощью исследования знака функции и, как правило, не включается в стандартный курс вычислительной математики.

Пример локализации корней.

Приведем лишь один пример: определить количество и приближенное расположение корней уравнения sinX - 0.2X=0.

Для решения перепишем уравнение в виде sinX=0.2X. Поскольку значения функции y=sinX лежат между -1 и 1, то корни уравнения могут быть только на отрезке [-5,5]. Ясно, что один из корней - это X=0 . Если же на отрезке [-5,5] нарисовать графики функций y1(X)= sinX и y2(X)=0.2X, то сразу будет видно, что точки их пересечения (а это и есть корни нашего уравнения) расположены на отрезках [-3,-2] и [2,3].

Ответ: исходное уравнение имеет 3 корня: Х1=0, Х2Î[-3,-2] и Х3Î[2,3].

Упражнения :определить количество и месторасположение корней уравнений:

1.1 9 – Х2 - eх = 0

1.2 sin 2X – X2+6=0

1.3  1/(1+X2) - 0.1 X4 = 0

1.4 ln(2+X) - 0.4X3= 0

В дальнейшем мы будем считать, что уравнение f(X)=0 задано на отрезке [a,b], на котором расположен ровно один его корень, и исследовать решение второй части задачи - уточнение корней. По-видимому, эта задача является самой простой из всех вычислительных задач, встречающихся на практике. Существуют несколько хороших методов решения данной задачи.

Число действительных корней полинома

Общее представление о числе действительных корней уравнения (1.3) на интервале (a,b) дает график функции , где корнями  являются абсциссы точек пересечения графика с осью Ox.

Отметим некоторые свойства полинома P(x):

Если P(a)P(b)<0, то на интервале (a, b) имеется нечетное число корней полинома P(x) с учетом их кратностей.

Если P(a)P(b)>0, то на интервале (a, b) существует четное число или не существует вообще корней полинома P(x).

Вопрос о числе действительных корней алгебраического уравнения на данном промежутке решается методом Штурма.

Определение. Пусть дана упорядоченная конечная система действительных чисел, отличных от нуля:

,,…,  (1.9)

Говорят, что для пары рядом стоящих элементов ,  системы (1.9) имеется изменение знака, если эти элементы обладают противоположными знаками, т.е.

,

и нет изменения знака, если знаки их одинаковы, т.е.

.

Определение. Общее число изменений знаков всех пар соседних элементов ,   системы (1.9) называется числом перемен знаков в системе (1.9).

Определение. Для данного полинома P(x) системой Штурма называется система полиномов [1]

, , , ,…, ,


где ,  – взятый с обратным знаком остаток при делении полинома  на ,  – взятый с обратным знаком остаток при делении полинома  на   и т.д.

Замечание 1. Если полином  не имеет кратных корней, то последний элемент  системы Штурма есть отличное от нуля действительное число.

Замечание 2. Элементы системы Штурма можно вычислять с точностью до положительного числового множителя.

Обозначим через N(c) число перемен знаков в системе Штурма при x=c, при условии, что нулевые элементы этой системы вычеркнуты.

Метод половинного деления (или метод вилки) хорошо знаком по доказательству теоремы о промежуточном значении в курсе математического анализа.

Метод итераций применяется к уравнению вида Х= u(x) на отрезке [a,b], где:а) модуль производной функции u(x) невелик: | u'(x) | <= q < 1 (xÎ[a,b] )

б) значения u(x) лежат на [a,b] ,т.е. a <= u(x) <= b при xÎ[a,b].

Суть и обоснование метода итераций. Суть метода итераций заключается в построении рекуррентной последовательности чисел, сходящейся к решению, по формуле хк+1 = u(xк), к=0,1,2,..., где х0Î[a,b] -произвольная точка.

3.Каковы условия применимости методов Ньютона и итераций? 4.В чем суть методов половинного деления, Ньютона и итераций?

Интерполирование функций При решении большинства вычислительных задач приходиться иметь дело с функциями, заданными таблично, а не аналитически.

Интерполяция многочленом. Единственность интерполяционного многочлена n-й степени.

Численное дифференцирование. Постановка задачи численного дифференцирования. Дифференцирование интерполяционного многочлена Ньютона. Применение ряда Тейлора для численного дифференцирования. Природа неустранимой погрешности формул численного дифференцирования.
Элементы математической статистики