Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Ручные вычисления по методу Гаусса

Вычислительная математика

Среди графических рассмотрим метод Эйлера.

Суть его состоит в последовательном построении ломаной, начинающейся в точке (Хо,Yо), заданной начальным условием и дающей приблизительный вид графика искомой функции Y(х). Для построения первого (а затем и каждого следующего) участка ломаной в этом методе мы вычисляем значение f(Xo,Yо), проводим прямую из данной точки с полученным угловым коэффициентом. Поскольку Y'(Хо)=f(Хо,Yо), то эта прямая будет касательной к интегральной кривой в точке (Хо,Yо). Поэтому мы и заменяем часть графика функции на отрезок касательной к ней. Далее, из новой полученной точки мы делаем следующий такой же шаг и т.д.

Метод Эйлера хорош тем, что он прост и нагляден, но к сожалению , он очень плох в смысле точности приближения и дает лишь приблизительный вид интегральной кривой.

Говоря о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений, мы ограничимся еще более частным случаем постановки задачи, в которой требуется лишь определить значение неизвестной функции Y(х) в одной точке b.

Общая схема численных методов.

1.Делим отрезок [a,b] на n-равных частей точками а=Xo<X1<X2<…<Xn=b или Xi=a+ih

2.Последовательно, при i=0,1,2,…,(n-1) осуществляем переход от точки (Хi,Yi) к точке (Хi+1,Yi+1) по формуле Yi+1=Yi+DУi, где на каждом отрезке величина DУi вычисляется по одному и тому же закону, задающему метод решения уравнений.

Метод Эйлера, который мы рассматривали как графический, легко интерпретировать и как численный метод. Из описания этого метода сразу же видно, что приращение DYi вычисляется как линейное приращение функции. На отрезке длины h формула для приращения функции примет вид DYi=h f(Xi,Yi), откуда и получаем закон перехода в методе Эйлера: Y i+1=Yi+hf(Xi,Yi).

Как уже отмечалось, погрешность этого метода очень велика, она достигает величин порядка h, т.е. метод Эйлера -первого порядка точности. Для улучшения точности вычислений применяют многошаговую систему перехода от точки (Xi,Yi) к следующей.

методы Рунге-Кутта

Например, в одном из усовершенствований метода Эйлера, который также называют методом Рунге-Кутта второго порядка, переход осуществляют в два этапа по формулам:

Zi = Yi +h/2*f(Xi,Yi) Yi+1=Yi+h*f(Xi+h/2,Zi).

При этом получается погрешность порядка h2.

А самый распространенный на практике метод - метод Рунге-Кутта четвертого порядка, в котором точность имеет порядок величины h4, а переход к следующей точке осуществляется с помощью четырех вспомогательных величин:

k1= h*f(Xi,Yi)

k2= h*f(Xi+h/2,Yi+k1/2)

k3= h*f(Xi+h/2,Yi+k2/2)

k4= h*f(Xi+h,Yi+k3)

После вычисления этих вспомогательных величин переход от точки (Xi,Yi) к следующей точке осуществляется по формуле Yi+1=Yi+1/6*(k1+2k2+2k3+k4).

Упражнение 4.5. Выяснить геометрический смысл перехода к следующей точке по формулам усовершенствованного метода Эйлера.

Оценка точности в методах Рунге-Кутта второго и четвертого порядков на практике производится с помощью метода двойного счета, сформулированного в предыдущем параграфе.

Упражнение 4.6. Выписать и объяснить формулы оценки точности в методах Рунге-Кутта второго и четвертого порядков.

Поясним происхождение формул в методах Рунге-Кутта. Для получения закона вычисления значения Y(x) в каждой следующей точке поступают приблизительно так: выписывают разложение неизвестной функции в ряд Тейлора в точке Xi, как мы проделывали это выше, затем берут несколько первых членов этого разложения, и преобразуют полученную формулу Тейлора.

Постановка задачи: По заданному обыкновенному дифференциальному уравнению на фиксированном отрезке и значению искомой функции в левом конце определить значение в правом конце с требуемой точностью.

Метод наименьших квадратов Постановка задачи и ее качественный анализ.Одной из самых распространенных задач вычислительной математики является задача статистической обработки данных, и, в частности, составление эмпирических формул для нахождения зависимости одной величины от другой, когда известна таблица их значений, полученных в результате некоторой серии экспериментов.

Дана таблица зависимости функции Y от аргумента X:

Х

Х1

Х2

………

Хn

У

У1

У2

………

Уn

Разберем пример 5.1 нахождения наилучшей линейной функции.Пусть зависимость задана таблицей.

Сведение поиска функций другого вида к поиску линейной функции. При поиске функций другого вида (3-8) задача сводится к рассмотренной выше задаче нахождения наилучшей линейной функции.

Постановка задачи: По заданной таблице зависимости некоторой величины Y от аргумента X определить коэффициенты линейной функции (или функции другого вида), которая наилучшим образом отражает эту зависимость.

Методы решения систем линейных уравнений можно разбить на две группы: точные методы и приближенные.

Прямой ход.Это основной этап решения системы уравнений с помощью метода Гаусса

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи. Классификация методов решения ОДУ. Одношаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Определение дифференциального уравнения 1-го порядка. Задача Коши. Аналитические методы решения. Графические методы. Одношаговые и многошаговые методы. Метод Пикара. Метод Эйлера. Геометрический смысл использования метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта, его геометрический смысл.
Элементы математической статистики