Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Ручные вычисления по методу Гаусса

Вычислительная математика

Сведение поиска функций другого вида к поиску линейной функции.

При поиске функций другого вида задача сводится к рассмотренной выше задаче нахождения наилучшей линейной функции. Для этого производится некоторая замена переменных, которая подбирается таким образом, чтобы вновь полученная задача свелась к нахождению линейной зависимости, а после применения описанной конструкции происходит обратная замена.

Рассмотрим на конкретных примерах, как это происходит.

При поиске, скажем, функции y=1/(ax+b) (вид 5) для сведения задачи к линейной мы производим замену t =1/y, после которой задача сводится к нахождению наилучшей линейной функции t=ax+b. А коэффициенты, найденные при ее решении и будут искомыми в первоначальной задаче. Тем самым, поиск наилучшей функции вида 5 надо осуществлять так:

заменяем в исходной таблице переменную Y на t, а все числа, записанные в нижней строке - на обратные

для получившейся таблицы находим линейную зависимость

получившиеся значения a и b берем без изменения.

Аналогичные действия мы производим при поиске наилучшей приближающей функции вида 6. Но замена, которую необходимо произвести для сведения к линейной задаче, в этом случае имеет вид u=ln(x). Итак, мы получим такое правило поиска наилучшей функции вида 6:

заменяем в исходной таблице переменную X на u, а все числа, записанные в верхней строке - на их логарифмы

для получившейся таблицы находим линейную зависимость

получившиеся значения  a и b берем без изменения.

Упражнение 5.3. Провести подобные рассуждения и сформулировать способ решения задачи для функций вида 7.

Для того, чтобы найти наилучшую функцию вида 3, нужно прологарифмировать соотношение y=ахn. При этом получится ln(Y)=ln(a)+n*ln(x), откуда и вытекает способ решения:

заменяем в исходной таблице переменную X на u=ln(X), переменную Y на t=ln(y), а все числа, записанные в таблице - на их логарифмы

для получившейся таблицы находим линейную зависимость

по получившимся значениям a и b находим нужные нам числа применяя формулы n=а, a=eb.

Упражнение 5.4. Провести подобные рассуждения и сформулировать способ решения задачи для функций вида 4.

Упражнение 5.5. Провести подобные рассуждения и сформулировать способ решения задачи для функций вида 8.

Контрольные вопросы.

1. Какова общая постановка задачи нахождения эмпирических формул?

2. Каким образом можно оценивать качество приближения?

3. Каким образом графически можно интерпретировать постановку задачи нахождения эмпирических формул?

4.В чем сходство и различие постановки задачи метода наименьших квадратов и задачи интерполяции?

5. Какие виды приближающих функций обычно применяются?

6. В чем суть метода приближения таблично заданной функции по методу наименьших квадратов линейной функцией?

7. Как сводится задача построения различных эмпирических формул к задаче нахождения линейной функции?

Теорема 1.5. (теорема Штурма). Если полином P(x) не имеет кратных коней и , , то число его действительных корней  на интервале  в точности равно числу потерянных перемен знаков в системе Штурма полинома  при переходе от до , т.е.

.

Следствие 1. Если , то число  положительных и число  отрицательных корней полинома  соответственно равны

,

.

Следствие 2. Для того чтобы все корни полинома P(x) степени n, не имеющего кратных корней, были действительны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

.

Таким образом в уравнении (1.3) все корни будут действительными тогда и только тогда, когда:

система Штурма имеет максимальное число элементов n+1, т.е. m=n;

выполнены неравенства , т.е. старшие коэффициенты всех функций Штурма  должны быть положительными.

С помощью системы Штурма можно отделять корни алгебраического уравнения, разбивая интервал (a,b), содержащий все действительные корни уравнения, на конечное число частичных интервалов  таких, что

.

Многошаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Постановка краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Экстраполяционные методы Адамса. Интерполяционные методы Адамса. Понятие краевой задачи. Аналитические, приближенные и численные методы решения краевых задач. Редукция к вариационной задаче. Метод Ритца. Понятие вариационной задачи.
Элементы математической статистики