Физика атомного реактора Сопротивление материалов Математика решение задач Информатика Атомная энергетика безопасность Электротехника и электроника Ручные вычисления по методу Гаусса

Вычислительная математика

Ручные вычисления по методу Гаусса.

В процессе ручных вычислений по методу Гаусса заполняется таблица, которая состоит из нескольких разделов, соответствующих определенным этапам вычислений. В ней вводится столбец s- сумма всех коэффициентов в строке, столбец s- контрольный столбец (на нулевом шаге он заполняется из столбца s, а затем преобразуется вместе со строками по той же формуле, причем, сравнивая его со столбцом s, мы проверяем правильность вычислений, поскольку данные столбцы должны совпадать). На каждом следующем шаге прямого хода в таблице уменьшается как количество уравнений (т.к. на k-м шаге мы меняем только последние n-k уравнений), так и количество неизвестных. При этом один из пустых столбцов таблицы (там должны были бы стоять только нули) мы используем для записи коэффициентов cmk, на которые домножаем k–ю строку перед вычитанием из m–й.

Пример. Решить систему:

Таблица при ручных вычислениях имеет вид: Интегрирование по частям иногда приводится к интегралу, совпадающему с исходным или сводящемуся к нему. В этом случае интеграл находится из решения алгебраического уравнения, в котором неизвестным является искомый интеграл. Пример. Найти . Произведем тождественные преобразования, умножив и разделив подынтегральную функцию на .

___________________________________________

  N шага | Матрица А | Св.член | s | s

_______ _|_____________|________|____|________

  | 3 -1 0 | 1 | 3 | 3

 0 | -2 1 1 | 0 | 0 | 0

 | 2 -1 4 | 0 | 5 |  5

 ________|_ ___________|________|_ ___|_______

 |-2/3 1/3 1 |  2/3 | 2 | 2

 1 | 2/3 -1/3 4 | -2/3 | 3 | 3

______ __|_____________|________|_____|_______

  2 | -1 5 | 0 | 5 | 5

________|_____________|_________|____|_______

  | х3 = 0 |

 | х2 = 2 |

 | х1 = 1 |

Кластерный анализ - математическая процедура многомерного анализа, предназначенная для разбиения множества объектов на однородные группы (кластеры).

 При анализе и прогнозировании социально-экономических явлений исследователь довольно часто сталкивается с многомерностью их описания. Это происходит при решении задачи сегментирования рынка, построении типологии стран по достаточно большому числу показателей, прогнозирования конъюнктуры рынка отдельных товаров, изучении и прогнозировании экономической депрессии и многих других проблем.

 Методы многомерного анализа - наиболее действенный количественный инструмент исследования процессов, описываемых большим числом характеристик. К ним относятся кластерный анализ, таксономия, распознавание образов, факторный анализ.

 Кластерный анализ наиболее ярко отражает черты многомерного анализа в классификации, факторный анализ – в исследовании связи.

 Иногда подход кластерного анализа называют в литературе численной таксономией, численной классификацией, распознаванием с самообучением и т.д.

 Первое применение кластерный анализ нашел в социологии. Название кластерный анализ происходит от английского слова cluster – гроздь, скопление.

 Впервые в 1939 был определен предмет кластерного анализа и сделано его описание исследователем Трионом. Главное назначение кластерного анализа – разбиение множества исследуемых объектов и признаков на однородные в соответствующем понимании группы или кластеры. Это означает, что решается задача классификации данных и выявления соответствующей структуры в ней. Методы кластерного анализа можно применять в самых различных случаях, даже в тех случаях, когда речь идет о простой группировке, в которой все сводится к образованию групп по количественному сходству.

 Большое достоинство кластерного анализа в том, что он позволяет производить разбиение объектов не по одному параметру, а по целому набору признаков. Кроме того, кластерный анализ в отличие от большинства математико-статистических методов не накладывает никаких ограничений на вид рассматриваемых объектов, и позволяет рассматривать множество исходных данных практически произвольной природы. Это имеет большое значение, например, для прогнозирования конъюнктуры, когда показатели имеют разнообразный вид, затрудняющий применение традиционных эконометрических подходов.

 Кластерный анализ позволяет рассматривать достаточно большой объем информации и резко сокращать, сжимать большие массивы информации, делать их компактными и наглядными.

 Кластерный анализ можно использовать циклически. В этом случае исследование производится до тех пор, пока не будут достигнуты необходимые результаты. При этом каждый цикл здесь может давать информацию, которая способна сильно изменить направленность и подходы дальнейшего применения кластерного анализа. Этот процесс можно представить системой с обратной связью.

Регуляризация решения При решении систем методом Гаусса желательно предусмотреть на каждом шаге перестановку уравнений/

Описание метода Гаусса для вырожденных систем. Хочется еще раз подчеркнуть, что метод Гаусса приспособлен и для решения вырожденных систем.

Нахождение ранга матрицы. При решении задачи нахождения ранга матрицы одним из самых эффективных методов также является применение общего метода Гаусса.

Метод квадратного корня Условие применимости метода квадратного корня.

Нахождение матрицы S («квадратного корня» из А).

Общие формулы для нахождения элементов матрицы S имеют вид:, где i=1,2...n.

Компакт-метод. Как уже отмечалось, метод квадратного корня применим только для систем с симметричной матрицей A.

Многошаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Постановка краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Экстраполяционные методы Адамса. Интерполяционные методы Адамса. Понятие краевой задачи. Аналитические, приближенные и численные методы решения краевых задач. Редукция к вариационной задаче. Метод Ритца. Понятие вариационной задачи.
Элементы математической статистики